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Parameterdarstellung Kurvenintegral

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Kurvenintegral, Parameterdarstellung

chickendinner aktiv_icon

22:10 Uhr, 26.07.2010

Hi, ich muss ein Kurvenintegral berechnen, verstehe aber nicht, wie ich auf die benötigte Parameterdarstellung komme. Es wäre echt nett, wenn mir jemand die Konstruktion einer solchen Darstellung erklären könnte.

Zur Aufgabe:

f = (\begin{matrix} y^{2} + 2 z x \\ z + 4 x y \\ y \end{matrix})

(Kurve ist nicht wegunabhängig, das musste bereits geprüft werden). Nun wird die Parameterdarstellung benötigt, welche in der Lösung als

(\begin{matrix} t \\ 0 \\ 1 - t \end{matrix})

angegeben ist. Ich kann mir jedoch nicht erklären, wie man auf diese Lösung kommt, würde es aber gern richtig verstehen (zumal ich zukünftig wohl noch des Öfteren Parameterdarstellungen ermitteln muss).

Vielen Dank im Voraus für jegliche Hilfe/ Erklärung

MfG Chicken

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

smoka

23:24 Uhr, 26.07.2010

Hallo,

poste bitte mal die genaue Aufgabenstellung. f ist keine Kurve sondern ein Vektorfeld, die Parameterdarstellung gibt Dir die Kurve an, die durchlaufen werden soll. Wie man darauf kommt hängt ganz von der Aufgabenstellung ab.
Wenn Du z.B. längs der x-Achse über 5 LE integrieren möchtest kann eine Parametrisierung beispielsweise so aussehen:

\vec{s} = (\begin{array}{c} 5 t \\ 0 \\ 0 \end{array}) t \in [0, 1]

Das ist dann die Kurve.

chickendinner aktiv_icon

23:50 Uhr, 26.07.2010

Danke schonmal für den Hinweis. Ich kann, wie gesagt, noch nicht viel mit dem Thema anfangen, da ich mich gerade erst "einarbeite".
Komplette Aufgabenstellung ist als Datei angehängt.

Yokozuna aktiv_icon

11:12 Uhr, 27.07.2010

Das Kurvenintegral für eine Funktion $f (x, y, z) = (\begin{matrix} \begin{matrix} {\begin{matrix} f \end{matrix}}_{x} (x, y, z) \\ {\begin{matrix} f \end{matrix}}_{y} (x, y, z) \end{matrix} \\ {\begin{matrix} f \end{matrix}}_{z} (x, y, z) \end{matrix})$

wird folgendermaßen berechnet:

$\int_{Γ} f (x, y, z) \cdot d (x, y, z) = \int_{Γ} (\begin{matrix} \begin{matrix} {\begin{matrix} f \end{matrix}}_{x} (x, y, z) \\ {\begin{matrix} f \end{matrix}}_{y} (x, y, z) \end{matrix} \\ {\begin{matrix} f \end{matrix}}_{z} (x, y, z) \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} \begin{matrix} d x \\ d y \end{matrix} \\ d z \end{matrix}) =$ $\int_{Γ} \begin{matrix} {\begin{matrix} f \end{matrix}}_{x} (x, y, z) \end{matrix} \cdot d x + \begin{matrix} {\begin{matrix} f \end{matrix}}_{y} (x, y, z) \end{matrix} \cdot d y + \begin{matrix} {\begin{matrix} f \end{matrix}}_{z} (x, y, z) \end{matrix} \cdot d z$

Wenn die Kurve $Γ$ eine Parameterdarstellung $(\begin{matrix} \begin{matrix} x (t) \\ y (t) \end{matrix} \\ z (t) \end{matrix})$ hat, kann man das Kurvenintegral auch schreiben als:

$\int_{Γ} \begin{matrix} {\begin{matrix} f \end{matrix}}_{x} (x, y, z) \end{matrix} \cdot d x + \begin{matrix} {\begin{matrix} f \end{matrix}}_{y} (x, y, z) \end{matrix} \cdot d y + \begin{matrix} {\begin{matrix} f \end{matrix}}_{z} (x, y, z) \end{matrix} \cdot d z =$

$\int_{Γ} \begin{matrix} {\begin{matrix} [f \end{matrix}}_{x} (x (t), y (t), z (t)) \end{matrix} \cdot \frac{d x}{d t} + \begin{matrix} {\begin{matrix} f \end{matrix}}_{y} (x (t), y (t), z (t)) \end{matrix} \cdot \frac{d y}{d t} + \begin{matrix} {\begin{matrix} f \end{matrix}}_{z} (x (t), y (t), z (t)) \end{matrix} \cdot \frac{d z}{d t}] \cdot d t$

In Deinem Problem ist die Parameterdarstellung der ersten Teilkurve $Γ_{1}$ gleich $(\begin{matrix} \begin{matrix} t \\ 0 \end{matrix} \\ 1 - t \end{matrix})$ ,

wobei t von 0 bis 1 läuft. Es ist also $x = t, y = 0, z = 1 - t \Rightarrow \frac{d x}{d t} = 1, \frac{d y}{d t} = 0, \frac{d z}{d t} = - 1$ .

Dein obiges Beispiel sieht dann so aus:

$\int_{0}^{1} [(0^{2} + 2 \cdot t \cdot (1 - t)) \cdot 1 + ((1 - t) + 4 \cdot t \cdot 0) \cdot 0 + 0 \cdot (- 1)] \cdot d t =$

$\int_{0}^{1} (2 \cdot t - 2 \cdot t^{2}) \cdot d t = (t^{2} - \frac{2}{3} \cdot t^{3}) | \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Für die anderen Teilkurven muß man das analog machen. Du mußt allerdings für die beiden anderen Teilkurven eine passende Parameterdarstellung finden.

chickendinner aktiv_icon

15:06 Uhr, 27.07.2010

Vieled Dank schonmal für die Erklärung. Ich denke, ich weiß nun, wie man die Parameterdarstellungen bei dieser Aufgabe erreichen kann.
Meiner Vorstellung nach wäre

(\begin{matrix} 1 - t \\ t \\ 0 \end{matrix})

die

P . D

. für

Γ_{2}

und

(\begin{matrix} 0 \\ 1 - t \\ t \end{matrix}) P . D

für

Γ_{3}

. Ist das soweit korrekt? Was mich noch ein wenig verwirrt ist, dass die Musterlösung nach der Berechnung von

Γ_{1}

endet. Wie ist das zu erklären?
Gruß Chicken

smoka

15:18 Uhr, 27.07.2010

Also falls das nicht an Deinen Zeichenkünsten liegt ist Kurve 2 doch ein Kreisbogen, oder? Deine Parametrisierung sieht aber ziemlich linear aus, da kann ja was nicht stimmen ;-)

Yokozuna aktiv_icon

15:19 Uhr, 27.07.2010

Hallo,

also wenn die Kurvenstücke $Γ_{2}$ und $Γ_{3}$ Geradenstücke sein sollen, dann ist Deine Parameterdarstellung richtig, wobei man sich immer auch gleich überlegen sollte, von wo nach wo der Parameter t laufen muß, damit das Kurvenstück in der richtigen Richtung durchlaufen wird. Man braucht diese Information ja auch für die Integrationsgrenzen. Bei diesen beiden Geradenstücken müßte also t jeweils von 0 bis 1 laufen.

Bei dem Kurvenstück $Γ_{2}$ bin ich mir allerdings nicht sicher, ob das ein Geradenstück sein soll. In der Skizze sieht das für mich eher wie ein Viertelkreisbogen aus. Dafür wäre eine geeignete Parameterdarstellung

$(\begin{matrix} \begin{matrix} \cos (t) \\ \sin (t) \end{matrix} \\ 0 \end{matrix})$ , wobei dann t von $0$ bis $\frac{π}{2}$ laufen müßte.

Gruß Yokozuna

chickendinner aktiv_icon

15:34 Uhr, 27.07.2010

Ja, du hast recht, es soll wohl ein Viertelkreisbogen sein. So langsam verstehe ich die Parametrisierung. Aber wie kann man erklären, dass bei der Aufgabenstellung "man berechne das Kurvenintegral" nach

Γ_{1}

aufgehört wird? Reine Willkür, oder mathematischer Hintergrund?

Yokozuna aktiv_icon

15:52 Uhr, 27.07.2010

Beziehst Du Dich auf den Punkt iii) in der Aufgabe? Also da steht eigentlich nichts, daß man nach dem Kurvenstück $Γ_{1}$ aufhören soll. Das sind denke ich 2 Aufgaben und zwar soll man jeweils das Kurvenintegral über die gesamte Kurve $Γ = Γ_{1} + Γ_{2} + Γ_{3}$ berechnen und zwar für 2 verschiedene Wertepaare $(α, β)$ (in Aufgabe 1 $(α, β) = (0, 2)$ und in Aufgabe 2 $(α, β) = (2, 2)$ )

Gruß Yokozuna

chickendinner aktiv_icon

16:15 Uhr, 27.07.2010

Ja, ich meine Teil

3)

. Das 1. Wertepaar macht das Integral wegunabhängig, wodurch dies schnell gelöst werden kann, für das 2. Wertepaar wurde in der MuLö nur

Γ_{1}

berechnet, aber ich denke, dies ist reine Willkür gewesen und in der Klausur dürfte entweder die Aufgabenstellung präziser sein, oder die beiden anderen Kurven sind auch zu berechnen (die Summe dürfte dann ja eigentlich wieder 0 ergeben, oder?).
Vielen Dank nochmals für deine Hilfe (kann ich eig nicht oft genug sagen)
Gruß Chicken

smoka

16:20 Uhr, 27.07.2010

Das Kurvenintegral über einen geschlossenen Weg ist =0 wenn das Vektorfeld konservativ ist, also wenn gilt

rot \vec{f} = 0

andernfalls muss das nicht zwingend gelten.

Yokozuna aktiv_icon

16:52 Uhr, 27.07.2010

Ich denke, die wollten sich bei der Musterlösung nicht zuviel Arbeit machen. Deshalb haben sie das Beispiel nur für $Γ_{1}$ vorgerechnet, in der Hoffnung, daß die Studenten das dann für $Γ_{2}$ und $Γ_{3}$ selbst nachvollziehen können, weil das ja ganz analog zu $Γ_{1}$ geht. Aber ich gehe nach wie vor davon aus, daß über die gesamte Kurve $Γ$ zu integrieren ist (in der Physik wird oft über geschlossene Kurven integriert), aber wie Smoka auch schon erwähnte, da muß nicht zwangsläufig 0 herauskommen.

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