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Parameterdarstellung einer Ebene

Schüler Gesamtschule, 13. Klassenstufe

Tags: eben, Koordinatenform, Parameterdarstellung, Umwandlung

bamla

16:49 Uhr, 22.03.2014

hallo und zwar halte ich bald meine präsentationsersatzleistung im fach mathematik.
Mein Lehrer hat mir als Aufgabe gegeben:
Erläutern sie den titel Parameterdarstellung einer ebene und umwandlung in die koordinatenform.
Da es ein neues thema ist und ich mich überhaupt nicht so gut in analytische geometrie auskenne weiß ich nun nicht was die wichtigsten informationen über dieses thema ist bzw. was alles die präsentation beinhalten muss.ich hab für die präsentation

15 min

Zeit. Es wäre nett wenn ihr mir helfen würdet.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Parameterform

prodomo aktiv_icon

09:26 Uhr, 23.03.2014

Schon mehr als befremdlich, dass dieses Thema in der

13

. Klasse noch nicht erledigt sein soll. Ich unterrichte das just in diesen Tagen im Einführungsjahrgang der Oberstufe, also 2 Jahre früher. Zwar weiß ich, dass die Anforderungen im Abitur an Gesamtschulen allgemein und in Bremen speziell häufig als zu gering angesehen werden, aber so deutlich habe ich das noch nicht bestätigt bekommen.
Aber das hast du nicht zu vertreten. Also in Kürze:
Beginnen kannst du damit, dass ein Dreieck im Raum ein Teil einer Ebene ist und diese aus der Fortsetzung des Dreiecks nach allen Seiten besteht, so, wie man aus einer Strecke durch Fortsetzung über die Endpunkte hinaus eine Gerade machen kann. Um die Gleichung einer Geraden zu bestimmen, reicht es daher, 2 Punkte zu kennen, für eine Ebene braucht man

3,

die aber nicht auf einer Geraden liegen dürfen.
Beispiel:

A (1 | 4 | 2), B (5 | 1 | 0), C (1 | 1 | 8)

. Man geht analog zu der Parameterform einer Geraden vor und beschreibt die Ebene durch die Menge aller Vektoren, die vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt der Ebene führen. Diese Vektoren setzt man zusammen, indem man zunächst vom Ursprung an einem Punkt auf die Ebene "hinaufspringt" und dann dort mit einer Linearkombination zweier Vektoren, die auf der Ebene liegen, den endgültigen Zielpunkt erreicht. Der Vektor, der das "Hinaufspringen" bewirkt, heißt Aufpunktvektor (manchmal auch Stützvektor, weil er unter der Ebene wie eine Strebe zum Stützen wirkt). Die beiden Vektoren in der Linearkombination heißen genau wie bei einer Geraden Richtungsvektoren.
In unserem Beispiel kann jeder der drei Punkte Aufpunktvektor sein, die Vektoren von ihm zu den beiden anderen Punkten ergeben dann die Richtungsvektoren. Damit ist eine mögliche Parametergleichung

E = {\vec{x} | \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 4 \\ - 3 \\ - 2 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 3 \\ 6 \end{matrix})}

oder kürzer

E : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 4 \\ - 3 \\ - 2 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 3 \\ 6 \end{matrix})

.
Beim Übergang zur Koordinatenform weiß ich nicht, welche Vorkenntnisse du hast, insbesondere, ob dir Winkel zwischen Geraden und Ebenen schon vertraut sind. Daher rate ich dir zu einem anderen Weg, der selten beschritten wird (auch in Büchern) und von daher in einer Präsentation als Bonmot gut geeignet ist.
Die Koordinatenform heißt allgemein

a \cdot x_{1} + b \cdot x_{2} + c \cdot x_{3} = d

und enthält scheinbar 4 Unbekannte, während du doch nur 3 Punkte hast, also 3 Gleichungen aufstellen könntest - mithin zu wenig. Aber hier kannst du ausnutzen, dass die Lösungsmenge einer Gleichung sich nicht verändert, wenn man sie mit einem Faktor multipliziert.
Multiplikation der Koordinatenform mit

\frac{1}{d}

ergibt

u \cdot x_{1} + v \cdot x_{2} + w \cdot x_{3} = 1

mit

u = \frac{a}{d}, v = \frac{b}{d},

usw.
Jetzt hast du nur 3 Variable und kannst das System lösen. Dieser Teil sollte bekannt sein, daher nur zur Kontrolle

u = \frac{1}{6}, v = \frac{1}{6}, w = \frac{1}{12}

. Aus

\frac{1}{6} \cdot x_{1} + \frac{1}{6} \cdot x_{2} + \frac{1}{12} \cdot x_{3} = 1

wird dann

2 \cdot x_{1} + 2 \cdot x_{2} + x_{3} = 12

. Koordinatenform fertig !
Vor - und Nachteile beider Darstellungsformen: die Parameterform ist nicht eindeutig erkennbar,

d . h

. dieselbe Ebene kann eine scheinbar völlig andere Gleichung haben (wähle

z . B

. nicht A als Aufpunkt und schon sieht die Gleichung ganz anders aus). Das ist bei der Koordinatenform nicht so, denn ein Vielfaches kann man leichter erkennen. Dafür ist die Koordinatenform implizit,

d . h

. nicht nach

\vec{x}

aufgelöst und eignet sich deshalb nicht für Schnittberechnungen durch Gleichsetzen.
Das sind natürlich noch längst nicht alle Details, aber für den Anfang und

15

Minuten sollte es allemal reichen. Wenn die Zeit knapp wird (ausprobieren

!),

kannst du den Teil mit dem Gleichungssystem abkürzen (" wie das geht, kennt ihr ja") und direkt die Lösungen nennen.
Viel Erfolg !

bamla

14:43 Uhr, 23.03.2014

Dankeschöön, das hat mir sehr geholfen :-)

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