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Parameterdarstellung und Hessesche Normalenform

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Vektorräume

Tags: Determinanten, Hessesche Normalenform, Vektorraum

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15:15 Uhr, 19.11.2012

Hallo zusammen,
kann mir einer bei folgender Aufgabe helfen?

In der Ebene sei durch die beiden Punkte mit der Koordinatendarstellung ihrer Ortsvektoren

p = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}), q = (\begin{matrix} - 3 \\ 4 \end{matrix})

die Gerade

g

gegeben.

(a)

Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung in Punkt-Richtungsform und daraus die Hessesche Normalform der Geradengleichung von

g

. Welchen Abstand hat der durch den Ortsvektor

(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})

gegebene Punkt von g?

(b)

Die Gerade

h

sei in Koordinaten gegeben durch

x = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) +

mu((-2),(1))(Parameter

μ \in ℝ)

Bestimmen Sie

g \cap h

.

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene

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16:12 Uhr, 19.11.2012

Eigentlich erwarte ich solche Fragen eher in der Oberstufe,

Q 1

(vorletzter Jahrgang). Bitte daher um Nachsicht, wenn ich die Voraussetzungen vielleicht zu optimistisch einschätze.

Bei der Parameterform ist es gleichgültig, welchen Punkt man für den Aufpunkt-/Stützvektor benutzt, ich nehme den ersten. Den Richtungsvektor bekommt man durch Subtarktion der Ortsvektoren von Endpunkt und Anfangspunkt. Also

g_{P - Q} : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 3 \end{matrix})

. Für die Hesseform braucht man zunächst den Normalenvektor. Der Muss orthogonal zum Richtungsvektor sein, mithin muss das Skalarprodukt der beiden 0 ergeben. Daraus folgt

n_{1} \cdot (- 4) + n_{2} \cdot 3 = 0

oder

n_{1} = \frac{3}{4} \cdot n_{2}

. Da es sich mit ganzen Zahlen leichter rechnet, ist

(\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix})

gut geeignet. Jetzt muss er nur noch auf die Länge 1 gekürzt werden. Noch ist seine Länge

\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5,

aber nach Multiplikation mit

\frac{1}{5}

heißt er passend

\vec{n_{0}} = (\begin{matrix} 0,6 \\ 0,8 \end{matrix})

. Damit wird die Hesseform zu

(\begin{matrix} 0,6 \\ 0,8 \end{matrix}) \cdot [\vec{x} - (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})] = 0

. Jetzt

(1 | - 1)

einsetzen, ergibt

(\begin{matrix} 0,6 \\ 0,8 \end{matrix}) \cdot [(\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})] = - 1,6

. Nicht daran stören, dass der Abstand negativ herauskommt, das heißt nur, dass Ursprung und Punkt

(1 | - 1)

auf derselben Seite der Geraden

g

liegen.
Jetzt zum Schnittpunkt mit

h : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \end{matrix})

. Gleichsetzen ergibt für die ersten Komponenten

- 2 \cdot μ + 4 \cdot t = 0

und für die zweiten

μ - 3 \cdot t = 1

. Aus der ersten Gleichung folgt

μ = 2 \cdot t

und damit für die zweite

2 \cdot t - 3 \cdot t = 1,

das gibt

t = - 1

und damit

μ = - 2

. Einsetzen ergibt für beide Geraden den Punkt

S (5 | - 2)

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21:34 Uhr, 19.11.2012

Vielen Dank für die ausführliche und gut nachvollziehbare Lösung!

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