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Parameterform-Normalvektorform

Schüler Gesamtschule, 10. Klassenstufe

Tags: Vektor

bunny-mathe1 aktiv_icon

01:20 Uhr, 05.06.2011

Meine Fragen:

.)

Man kann ja eine Gerade in Paramterform in Normalvektorform (im

R 2)

ausrechnen indem man

z . B

. die Koordinaten sich zeilenweiße aufschreibt, diese Parameterfrei macht und dann die Normalvektorform erhält.
Aber warum funktioniert das, also warum kommt dann die normalvektorform raus, worauf beruht das? Man zieht ja die eine zeile von der anderen ab, wieso entsteht dann die normalvektorform?

x = p 1 + t \vec{x}

/ \cdot \vec{y}

y = p 2 + t \vec{y}

/ \cdot \vec{x}

nach der Multiplikation voneinader abziehen, so dass der hintere Teil mit dem parameter jeweils wegfällt
und man erhält

\vec{y} \cdot x - \vec{x} \cdot y = p 1 \cdot \vec{y} - p 2 \cdot \vec{x}

.)

Funktioniert dieses Prinzip auch bei den Ebenen (im

R 3)

Also dass man hier 3 Zeilen hat mit je 2 Unbekannten? Kann man das genauso allgemein aufschreiben. Denn ich hab es nicht geschafft!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

MBler07 aktiv_icon

12:59 Uhr, 05.06.2011

Hi

Also mit dieser Schreibweise kann ich nichts anfangen und bezweifle auch dass sie richtig ist. Meinst du vlt.

\vec{x} = \vec{p} + t \cdot \vec{r}

Und daraus dann

x = p_{x} + t \cdot r_{x}

y = p_{y} + t \cdot r_{y}

Das ist dann die so genannte Parameterfreie Darstellung (bzw. Normalenform). Diese erreichst du

u . a

. durch addieren. Dabei ist das Addieren aber der Weg. Du könntest auch anders Vorgehen. Wichtig ist das Ziel: den Parameter wegfallen zu lassen.

Eine andere Möglichkeit ist das Einsetzungsverfahren: Beispiel:

1) x = p_{x} + t \cdot r_{x}

2) y = p_{y} + t \cdot r_{y}

aus

1)

t = \frac{x - p_{x}}{r_{x}}

2)

y = p_{y} + (\frac{x - p_{x}}{r_{x}}) \cdot r_{y}

r_{x} \cdot y = p_{y} \cdot r_{x} + x \cdot r_{y} - p_{x} \cdot r_{x}

r_{x} \cdot y - r_{y} \cdot x = p_{y} \cdot r_{x} - p_{x} \cdot r_{x}

Und damit dasselbe, was du auch oben stehen hast.

Das mal für den Anfang. Ich muss jetzt weg.

Grüße

bunny-mathe1 aktiv_icon

13:35 Uhr, 05.06.2011

ja du hast ja nur andere bezeichnungen gewählt.
Wie kann man dass aber auch im

R 3

machen?

Shipwater aktiv_icon

13:40 Uhr, 05.06.2011

Siehe hier unter

2.6

Parameterform

\to

Koordinatenform:
http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~slieder/Mathehelfer/Ebenen.pdf

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13:55 Uhr, 05.06.2011

mhm JA aber ich schaffe es nicht in Allgemeiner Form mit Variabeln auszudrücken!

Shipwater aktiv_icon

14:03 Uhr, 05.06.2011

Wie bitte? Drück dich mal etwas deutlicher aus.

\vec{x} = \vec{p} + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v}

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{1} + s \cdot u_{1} + t \cdot v_{1} \\ p_{2} + s \cdot u_{2} + t \cdot v_{2} \\ p_{3} + s \cdot u_{3} + t \cdot v_{3} \end{matrix})

Ist es das was du meintest, oder habe ich dich missverstanden?

bunny-mathe1 aktiv_icon

14:30 Uhr, 05.06.2011

Ja nun das nun in dieser Forme "paramterfrei" machen, so dass man die Normalvektordarstellung erhält.
Mithilfe des Kreuproduktes kann mann es relativ gut ausdrücken
aber durch die Form des zeilenhaften aufschreibens gelingt mir das nicht

Shipwater aktiv_icon

14:32 Uhr, 05.06.2011

Was genau ist denn nun dein Ziel?

bunny-mathe1 aktiv_icon

14:46 Uhr, 05.06.2011

das selbe (wie oben im Post von mir und dem unter mir) in

R 2

auch im

R 3

zu zeigen.

Shipwater aktiv_icon

14:50 Uhr, 05.06.2011

Dann lies dir den Beitrag von MBler07 durch und wende eines der vorgeschlagenen Verfahren auf den dreidimensionalen Fall an.

bunny-mathe1 aktiv_icon

15:05 Uhr, 05.06.2011

hab ich versucht, scheitert bei mir aber leider

Shipwater aktiv_icon

15:06 Uhr, 05.06.2011

Die Hauptsache ist du kannst es bei gegebenen Werten rechnen und dafür habe ich dir ja einen Link gegeben. Vorrechnen werde ich das bestimmt nicht, falls du darauf hinaus willst.

bunny-mathe1 aktiv_icon

00:47 Uhr, 06.06.2011

Nein, aber es wäre gut wenn du mir weiterhelefen könntest!

(x / y / z) = (p 1 / p 2 / p 3) + u \cdot (a 1 / a 2 / a 3) + v \cdot (a 1 / a 2 / a 3)

x = p 1 + u \cdot a 1 + v \cdot b 1

y = p 2 + u \cdot a 2 + v \cdot b 2

z = p 3 + u \cdot a 3 + v \cdot b 3

\cdot b 2

\cdot b 1

->Voneinander abziehen I - II
IV

x \cdot b 2 - y \cdot b 1 = (p 1 \cdot b 2 - p 2 \cdot b 1) + (u \cdot a 1 \cdot b 2 - u \cdot a 2 \cdot b 1)

vereinfacht
IV

x \cdot b 2 - y \cdot b 1 = (p 1 \cdot b 2 - p 2 \cdot b 1) + (u \cdot (a 1 \cdot b 2 - a 2 \cdot b 1))

\cdot b 3

III

\cdot b 2

->Voneinader abziehen II - III

V y \cdot b 3 - z \cdot b 2 = (p 2 \cdot b 3 - p 3 \cdot b 2) + (u \cdot a 2 \cdot b 3 - u \cdot a 3 \cdot b 2)

vereinfacht

V y \cdot b 3 - z \cdot b 2 = (p 2 \cdot b 3 - p 3 \cdot b 2) + (u (\cdot a 2 \cdot b 3 - a 3 \cdot b 2))

Wie bringe ich den parameter

u

weg?

Shipwater aktiv_icon

06:58 Uhr, 06.06.2011

Kannst du bitte leserlich schreiben? Sonst kriege ich Kopfweh beim Entschlüsseln.
Siehe: www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf

bunny-mathe1 aktiv_icon

14:38 Uhr, 06.06.2011

Ich mach nen neuen tread auf

Shipwater aktiv_icon

17:57 Uhr, 06.06.2011

Wenn es kein Doppelthread wird, dann ok.

bunny-mathe1 aktiv_icon

18:10 Uhr, 06.06.2011

Warum wurde der Thread gelöschT?

y \cdot b_{3} - z \cdot b_{2} = (p_{2} \cdot b_{3} - p_{3} \cdot b_{2}) + (u \cdot a_{2} \cdot b_{3} - u \cdot a_{3} \cdot b_{2})

x \cdot b_{2} - y \cdot b_{1} = (p_{1} \cdot b_{2} - p_{2} \cdot b_{1}) + (u \cdot a_{1} \cdot b_{2} - u \cdot a_{2} \cdot b_{1}))

Mhm. Dann frag ich hier nochmal: Ich hab die beiden Gleichungen und will den Parameter

u

rausbekommen! Dass die Gleichung parameterfrei wird!!!

dabei ist

(\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix}) =

Punkt der Ebene

(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) =

Richtungsvektor

(\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) =

Richtungsvektor

u . .

. Parameter

Shipwater aktiv_icon

10:17 Uhr, 07.06.2011

Weil es ein Doppelthread war! Nochmal: Schreibe leserlich dann kann ich versuchen dir zu helfen. "x_2" wird zu

x_{2}

bunny-mathe1 aktiv_icon

11:39 Uhr, 07.06.2011

Ist es jetzt besser? siehe oben

=)

Ich hoffe du kannst mir jetzt helfen!, Bitte

Shipwater aktiv_icon

14:51 Uhr, 07.06.2011

Ich nehme im folgenden an, dass alle Werte

\neq 0

sind.

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{1} + s \cdot u_{1} + t \cdot v_{1} \\ p_{2} + s \cdot u_{2} + t \cdot v_{2} \\ p_{3} + s \cdot u_{3} + t \cdot v_{3} \end{matrix})

- - - - - - - - - - - - -

(I) x_{1} = p_{1} + s \cdot u_{1} + t \cdot v_{1}

(I I) x_{2} = p_{2} + s \cdot u_{2} + t \cdot v_{2}

(I I I) x_{3} = p_{3} + s \cdot u_{3} + t \cdot v_{3}

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

(I) x_{1} = p_{1} + s \cdot u_{1} + t \cdot v_{1}

(u_{2} \cdot I - u_{1} \cdot I I) x_{1} \cdot u_{2} - x_{2} \cdot u_{1} = p_{1} \cdot u_{2} + t \cdot v_{1} \cdot u_{2} - p_{2} \cdot u_{1} - t \cdot v_{2} \cdot u_{1} (I I a)

(u_{3} \cdot I - u_{1} \cdot I I I) x_{1} \cdot u_{3} - x_{3} \cdot u_{1} = p_{1} \cdot u_{3} + t \cdot v_{1} \cdot u_{3} - p_{3} \cdot u_{1} - t \cdot v_{3} \cdot u_{1} (I I I a)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

(I) x_{1} = p_{1} + s \cdot u_{1} + t \cdot v_{1}

(I I a) x_{1} \cdot u_{2} - x_{2} \cdot u_{1} = p_{1} \cdot u_{2} + t \cdot (v_{1} \cdot u_{2} - v_{2} \cdot u_{1}) - p_{2} \cdot u_{1}

(I I I a) x_{1} \cdot u_{3} - x_{3} \cdot u_{1} = p_{1} \cdot u_{3} + t \cdot (v_{1} \cdot u_{3} - v_{3} \cdot u_{1}) - p_{3} \cdot u_{1}

So sehen meine ersten Schritte aus. Jetzt eben noch

t

eliminieren, aber das wird eine lange Rechnerei. Kannst du bei Bedarf aber gerne machen...

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