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Parametergleichung aufstellen

Schüler Gymnasium,

Tags: paramtergleichung, Vektor

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18:14 Uhr, 11.12.2013

ich hab ein Problem bei folgender Aufgabe:

Auf einen Quader mit der Grundfläche in der x1-x2-Ebene ist eine Pyramide mit folgenden Eckpunkten aufgesetzt:

A (3 | - 3 | 7), B (3 | 3 | 7), C (- 3 | 3 | 7), D (- 3 | - 3 | 7)

und

S (0 | 0 | 13)

a)

Die Ebene

E 1

verläuft durch die Mitte der Pyramidenkanten SB bzw. SD und den Punkt
C. Die Pyramidenkante AS liegt auf einer Geraden

g

(1)

Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene

E 1

in Parameterform.

Ich hab da den Mittelpunkt der Pyramidenkanten SB bzw. SD bestimmt.

M(SB)=

(\begin{matrix} 1,5 \\ 1,5 \\ 10 \end{matrix})

M(SD)=

(\begin{matrix} - 1,5 \\ - 1,5 \\ 10 \end{matrix})

Dies stimmt noch mit den Lösungen überein. Aber am Ende kommen verschiedene Richtungsvektoren raus. Also die Zahlen sind alle richtig, nur die Vorzeichen nicht.

E 1 : \vec{x} = (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 4,5 \\ - 1,5 \\ 3 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 1,5 \\ - 4,5 \\ 3 \end{matrix})

angegebene Lösung:

E 1 : \vec{x} = (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 4,5 \\ 1,5 \\ - 3 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 1,5 \\ 4,5 \\ - 3 \end{matrix})

was ist mein Fehler? oder ist beides richtig?
Wahrscheinlich haben die in den Lösungen

C

minus M(SB) gemacht und ich andersrum, wiel die Zahlen stimmen ja, nur die Vorzeichen sind anders.

(2)

genau das gleiche:

(2)

Geben Sie eine Gleichung für die Gerade

g

an.

Meine Lösung:

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ - 3 \\ 7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 6 \end{matrix})

angegebene Lösung:

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ - 3 \\ 7 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 3 \\ - 6 \end{matrix})

Genau das selbe wie mit der Ebene

E 1

. Zahlen richtig, Vorzeichen anders.

Muss man M(SB) minus

C

oder geht auch

C

minus M(SB)?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

anonymous

18:19 Uhr, 11.12.2013

Deine Lösungen sind richtig. Bei den Richtungsvektoren der Ebene oder dem Richtungsvektor einer Geraden darf auch der mit

(- 1)

multiplizierte Vektor herauskommen, wie bei Dir geschehen.

Falls Du Dich jetzt fragst, wie das sein kann, naja, ganz einfach: Um den selben Punkt zu erreichen wie Deine Lehrer oder das Lsöungsbuch ist dann eben der Parameter vor dem Richtungsvektor wieder mit dem anderen Vorzeichen versehen.

Was ist die Ursache ?
Die Ursache ist, wie Du den Richtungsvektor bzw. die Richtungsvektoren berechnet hast. Nehmen wir an, Du hast einen Punkt A und einen Punkt B.

Der Vektor (AB) hat genau das umgedrehte Vorzeichen zum Vektor (BA).

Das heißt, das was bei Dir die "Spitze" beim Rechnen war, war im Lösungsbuch der Anfang. Verstehst wie ich meine ?

Gruß Matze

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18:24 Uhr, 11.12.2013

Ich hab aber nicht mit

(- 1)

multipliziert.

Ich hab CM(SB) und CM(SD) gemacht, das Lösungsbuch andersrum.

anonymous

18:27 Uhr, 11.12.2013

Ja genau....das ist dann so, als hättest Du es wie das Lösungsbuch gerechnet und dann anschließend mit

(- 1)

multipliziert.

Wie gesagt: Wenn man den Verbindungsvektor zwischen den Punkten A und

B

berechnet, dann ist (AB) = -(BA).

Es kommt also darauf an, welchen der beiden Punkte Dein Anfang und welcher Dein Ende ist. Entsprechend bekommst Du eben (AB) heraus oder -(BA).

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18:32 Uhr, 11.12.2013

Aber irgendwie kommen zwei unterschiedliche Koordinatenformen raus?
Kann das sein?

anonymous

18:37 Uhr, 11.12.2013

Beispiel (im zweidimensionalen)

Punkt

A (\frac{2}{1})

Punkt

B (\frac{7}{4})

Der Verbindungsvektor (AB) berechnet sich durch: (OB) - (OA)

= (\frac{7}{4}) - (\frac{2}{1}) = (7 - \frac{2}{4} - 1) = (\frac{5}{3})

Nun umgedreht. Der Verbindungsvektor (BA) ist: (OA) - (OB)

= (\frac{2}{1}) - (\frac{7}{4}) = (2 - \frac{7}{1} - 4) = (- \frac{5}{- 3})

Fällt Dir der Unterschied auf ?

Es gibt auch in der Realität einen Unterschied, ob man vom Bahnhof zur Schule geht oder von der Schule zum Bahnhof. Die Strecke ist die gleiche, aber die Richtung die man läuft, ist genau entgegengesetzt.

+

und - halt :-)

Gruß Matze

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18:41 Uhr, 11.12.2013

ne diesmal kommen ganz andere zahlen raus

anonymous

18:45 Uhr, 11.12.2013

Dann hast Du Dich verrechnet....es kann nur der positive bzw. der mit

- 1

durchmultiplizierte Vektor herauskommen.

Man verrechnet sich schnell bei den Vektoraufgaben. Das wird von den Schülern oft unterschätzt, weil man es mit so schön einfachen, of ganzen Zahlen oder gebrochenen Zahlen zu tun hat und dann glaubt man, es sei alles billig und schnell auszurechnen.

Tatsächlich ist es aber so, dass die Berechnung der Vektoren sehr fehleranfällig ist, weil man schnell mal ein Vorzeichen übersieht, sich irgendwo ein zwei mal verrechnet und schon ist das alles nur noch Mist, was rauskommt.

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19:21 Uhr, 11.12.2013

Wie kann man nachweisen dass ein Punkt auf der Seitenkante BS eines Dreiecks liegt?

anonymous

19:45 Uhr, 11.12.2013

Es ist eigentlich einfach, aber man muss sich genau überlegen, wie man es schlüssig machen kann. Ich nehme an, dass der Punkt

B

und der Punkt

S

gegeben ist.

Wenn das der Fall ist, dann ermittelst Du die Verbindungsgerade von

B

nach S. Nimm

B

als Aufpunkt der Geraden und BS als Richtungsvektor der Geraden. Dann hast Du die Geradengleichung, die die Strecke BS beinhaltet

!!!

Du hast jetzt also mehr als nur BS...Du hast die Gerade, die BS beinhaltet.

Deshalb musst Du jetzt den Bereich Deines Parameters vor Deinem Richtungsvektor bestimmen. Da wir

B

als Aufpunkt genommen haben, ist bei

t = 0

der Punkt B. Jetzt bestimmst Du den Parameter

t

für den Punkt S. Nehmen wir mal an, das wäre 3.

Dann bedeutet das, dass die Geradengleichung für alle

t = 0

bis

t = 3

die Strecke BS darstellt.

Der letzte Schritt ist, dass Du den Punkt, von dem Du nachweisen willst, dass er auf der Strecke BS liegt, mit der Geradengleichung gleichsetzt und das dabei fällig werdende

t

bestimmst. Liegt jetzt

t

zwischen 0 und

3,

dann ist der Punkt Element der Strecke BS.

So würde ich es machen.

Gruß Matze

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19:56 Uhr, 11.12.2013

Kann man nicht auch einfach die Gerade aufstellen und dann gucke ob der Punkt auf der Geraden liegt, weil dann liegt der ja auch auf der Strecke oder nicht?

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19:56 Uhr, 11.12.2013

Kann man nicht auch einfach die Gerade aufstellen und dann gucke ob der Punkt auf der Geraden liegt, weil dann liegt der ja auch auf der Strecke oder nicht?

anonymous

19:59 Uhr, 11.12.2013

Eher nicht..... Vom Prinzip her ist das ja der letzte Schritt, den ich Dir geraten habe. Aber das Problem ist doch folgendes: Wenn Du weisst, dass der Punkt auf der Geraden liegt, dann weisst Du doch noch nicht, dass er auch genau auf den teilstrück der Geraden liegt, das der Strecke BS entspricht.

Theoretisch könnte es nämlich sein, dass der Punkt auf der Geraden liegt, aber weit weg von Deinem geometrischen Körper (ich denke es geht hier um eine Pyramide). Und das kannst Du eben nur dadurch beweisen, in dem Du die beiden

t

für das Stück BS ausrechnest, weil Du dann eben sagen kannst, wenn ein

t

innerhalb dieser Grenzen ehrauskommt, dann ist der Punkt nicht nur ein Punkt der Geraden, sondern eben genau deshalb ein Punkt der STRECKE BS.

Ich würde deshalb hier nicht sparen und zu scheu sein, die beiden

t

zu bestimmen. Die werden nämlich gebraucht.

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20:12 Uhr, 11.12.2013

mit dem parameter bestimmen wir dann wo genau der Punkt

L

sein kann?

anonymous

20:16 Uhr, 11.12.2013

Naja....Du musst, wenn Du die Gerade bestimmt hast, drei verschiedene Parameter

t

des Richtungsvektors bestimmen.

1 .)

Den Parameter

t

für den Beginn Deiner Strecke BS. Das wird

t = 0

sein, weil Du ja

B

oder

S

als Aufpunkt der Geraden gewählt hast. Da muss man also nichts rechnen.

2 .)

Den Parameter von dem anderen Punkt Deiner Strecke BS. Den musst Du ausrechnen durch gleichsetzen.

So. Und jetzt hast Du ein Intervall (so nennt man das). Von

t = 0

bis

t = ...

. das ist die Strecke BS auf Deiner Geraden.

Und jetzt kannst Du den Punkt, den Du überprüfen möchtest, mit der Geradengleichung gleichsetzen. Und da kommt ein drittes

t

heraus. Wenn dieses dritte

t

in diesem Intervall liegt, dann ist die Aufgabe erfolgreich abgeschlossen. Wenn das

t

nicht in dem Intervall liegt, dann prüfe, ob Du Dich verrechnet hast. Hast Du Dich nicht verrechnet, dann liegt der Punkt nicht auf der Strecke BS.

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20:20 Uhr, 11.12.2013

Was muss ich gleichsetzen? die gerade mit dem punkt?

anonymous

20:20 Uhr, 11.12.2013

JA !

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20:21 Uhr, 11.12.2013

Gleichung = Punkt

S

?

wenn ich

B

als Aufpunkt genommen habe

anonymous

20:30 Uhr, 11.12.2013

Geradengleichung = Punkt der überprüft werden soll.

Gleichung nach

t

auflösen und das

t

mit dem Intervall vergleichen.

Kommt kein

t

heraus, sondern irgendein Müll und Du hast Dich nicht verrechnet, dann bedeutet das, dass der Punkte nicht auf der Geraden liegt und somit auch nicht auf BS liegt.

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20:31 Uhr, 11.12.2013

jaa der punkt, den ich überprüfen will, ist doch der punkt , den ich nicht als aufpunkt genommen hab oder?

anonymous

20:34 Uhr, 11.12.2013

Gib mir mal die komplette Aufgabe.

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20:43 Uhr, 11.12.2013

Auf einen Quader mit der Grundfläche in der x1-x2-Ebene ist eine Pyramide mit folgenden Eckpunkten aufgesetzt: A(3|−3|7),B(3|3|7),C(−3|3|7),D(−3|−3|7) und

S (0 | 0 | 13)

d)

Die Gerade

h

ist durch folgende Gleichung gegeben:

h : \vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 15 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ 11 \\ 14 \end{matrix})

Weisen Sie nach, dass der Punkt

L

auf der Seitenkante BS des Dreiecks BCS liegt.

reicht das?, weil vorher in aufgabe

c)

ist ne aufgabe über dieses Dreieck

anonymous

20:44 Uhr, 11.12.2013

Sind die Koordinaten des Punktes

L

bekannt oder müssen diese noch berechnet werden ?

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20:45 Uhr, 11.12.2013

oh die lauten:

L (1 \frac{1}{3} | 1 \frac{1}{3} | 10 \frac{1}{3})

anonymous

20:55 Uhr, 11.12.2013

Also:

\vec{x} =

(OB)

+

t(OS-OB)

Wenn man das aurechnet, dann erhält man als GERADENGLEICHUNG

\vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})

So. Jetzt bestimmen wir das Intervall, dass die Strecke BS auf dieser Geraden darstellt. Wenn man diese Geradengleichung mit dem Punkt

B

gleichsetzt, dann kommt für

t = 0

heraus. Logisch. Wir haben ja den Punkt

B

als Aufpunkt der Geradengleichung genommen !

Für den Punkt

S

erhalten wir auch durch gleichsetzen und ausrechnen den Wert

t = 3

.

Jetzt weiß ich: Alle Punkte der Geraden, die man mit einem Wert für

t

zwischen 0 und 3 erreichen kann, sind Punkte der Strecke BS.

Jetzt setzte ich die Geradengleichung mit den Koordinaten von

L

gleich und löse nach

t

auf. Man erhält dann für

t

den Wert

\frac{5}{3}

\frac{5}{3}

im Intervall

0 \leq t \leq 3

liegt, weiß ich, dass

L

auf der Geraden und explizit auf der Strecke BS liegt.

Alles klar ?

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21:44 Uhr, 11.12.2013

Wenn ich die Gleichung mit

S

gleichsetze, komme ich auf

t = 1

und am ende komme ich auf

t = \frac{5}{9}

anonymous

21:59 Uhr, 11.12.2013

\vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})

Für

S

ergibt sich:

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 13 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})

Auflösen:

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 13 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}) = t (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})

Ergibt

(\begin{matrix} - 3 \\ - 3 \\ 6 \end{matrix}) = t (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})

Daraus folgt:

t

ist gleich 3

Genauso macht man es mit S. Gleichsetzen (aber vorher alles in Drittel umrechnen). Dann erhält man ein

t

zwischen 0 und 3 und damit ist die Sache bewiesen.

S

ist Element der Strecke BS.

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