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Parameterschätzung einer DGL

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Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Parameterbestimmung, Partielle Differentialgleichungen

 
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twiwLeo

twiwLeo aktiv_icon

22:31 Uhr, 09.09.2021

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Hallo zusammen,

im Zuge einer studentischen Arbeit befasse ich mich derzeit mit dem Thema der Neuprodukt-Prognose. Die mitunter am häufigsten verwendeten Modelle sind die sog. Diffusionsmodelle, die nach einem S-Kurvenverlauf den Absatz einer Innovation über die Zeit abbilden.

Das wohl bekannteste Modell ist dabei das Bass-Modell (vgl. Bass, Frank M. (1969)), dessen Parameter ich nun versuche zu bestimmen. Gegeben sind dabei (1) eine Zeitreihe eines Absatzes und (2) die Gleichung, die wie folgt lauten:

(1) Zeitreihe:



(2) Gleichung:




Nun tue ich mir aber schwer mit der Bestimmung der Parameter α,β und γ. Ich habe bereits zwei Ansätze durchgespielt:

Ansatz 1: Ich habe die ersten drei Stützpunkte der Zeitreihe a(t) und A(t-1) eingesetzt in die Gleichung (1). Im Nachgang habe ich versucht diese dann durch die sich drei ergebenden Gleichungen mithilfe des Gauß-Verfahrens zu bestimmen. Dabei kamen jedoch falsche Werte heraus.

Ansatz 2: (gewöhnliche) Methode der kleinsten Quadrate


Nachdem ich dafür eine recht große Gleichung erhalten habe wollte ich folglich partiell ableiten um deren Minima zu bestimmen. Nach der partiellen Ableitung nach jeweils α,β und γ hatte ich drei Gleichungen (und damit ein inhomogenes LGS), die ich wiederum mithilfe des Gauß-Verfahrens lösen wollte. Doch auch hier kamen die falschen Werte heraus.

Heraus kommen sollte gemäß Fallstudie aus Adler, J./Kowalczuk, P. (2018),S. 62 sollte dabei folgendes herauskommen:



Leider komme ich einfach nicht auf diese Lösung. Deren Ausführungen verstehe ich leider nur oberflächlich.
Zeitreihe
Gleichung_Bass
Min
Soll_Hilfsparameter
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pivot

pivot aktiv_icon

07:53 Uhr, 10.09.2021

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Hallo,

letztendlich läuft es auf eine multiple, lineare Regression raus. Die Regressionsfunktion ist

ai=γti1+βti2+α
bzw.
yi=cxi1+bxi2+a

Ich habe die Regression mit Hilfe der folgenden Seite durchgeführt:
www.socscistatistics.com/tests/multipleregression/default.aspx

Die verwendeten Werte sind im Anhang zu sehen.

Gruß
pivot

Hier nochmal die Werte in kopierbarer Form:
0
3
15
46
102
198
307
426

0
9
225
2116
10404
39204
94249
181476

3
12
31
56
96
109
119
122


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Frage beantwortet
twiwLeo

twiwLeo aktiv_icon

08:59 Uhr, 10.09.2021

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Vielen Dank, hat auch bei mir geklappt!
Antwort
pivot

pivot aktiv_icon

09:01 Uhr, 10.09.2021

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Gerne. Freut mich, dass es geklappt hat.