Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Parametrisierung Polygonzug

Parametrisierung Polygonzug

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Parametrisierung eines Polygonzuges, Satz von Green

complacer aktiv_icon

16:56 Uhr, 17.01.2012

Hi,

Gegeben ist der positiv orientierte, geschlossene Polygonzug durch die Punkte

(0, 0), (2, 0), (0, 1)

. Wir bezeichnen den Polygonzug mit

γ

und die innere, von

γ

berandete Menge mit

M

.

a) Stelle den Polygonzug

γ

in einer Zeichnung dar und gib eine Parameterdarstellung von

γ

an.

Bei der Parameterdarstellung bin ich mir nicht ganz sicher. Ich muss die Kurve ja stückweise aus 3 Teilen zusammenbauen:

Beim 1. Teil würde ich sagen:

γ (t) = (\begin{array}{rcl} t \\ 0 \end{array}) t \in [0, 2]

Beim 2. Teil würde ich

t \in [2, 2 + \sqrt{5}]

wählen, da das Stück von

(2, 0)

nach

(0, 1)

\sqrt{5}

lang ist.
Die Gesamte Kurve wäre dann auf

[0, 3 + \sqrt{5}]

definiert... ist das so richtig, oder macht man das anders? Wie finde ich die Parameterdarstellung der beiden anderen Kurvenstücke?

pwmeyer aktiv_icon

17:44 Uhr, 17.01.2012

Hallo,

die Strecke zwischen zwei Punkten A und

B

kann man so parametrisieren:

x (t) := A + t \cdot (B - A), t \in [0,1]

Gruß pwm

complacer aktiv_icon

19:04 Uhr, 17.01.2012

Ok dann habe ich 3 Kurven:
1)

γ (t) = (\begin{array}{rcl} t \\ 0 \end{array}), t \in [0, 1]

γ (t) = (\begin{array}{rcl} 2 - 2 t \\ t \end{array}), t \in [0, 1]

γ (t) = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 - t \end{array}), t \in [0, 1]

Ist das richtig und wie schreibt man das korrekt auf, dass es sich um die Parametrisierung EINES Polygonzuges handelt?

In Aufgabe b) soll ich den Flächeninhalt von

M

mit dem Satz von Green berechnen:

Laut Vorlesung verwendet man dafür

f (x, y) = (\begin{array}{rcl} - y \\ x \end{array})

Ich hab hier das Normalgebiet

B

bzgl. der x-Achse gebildet mit:

0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq \frac{1}{2} x

Das Integral

\oint_{\partial B} f

liefert dann wenn ich das richtig verstanden habe den doppelten Flächeninhalt von B. Nach Satz von Green ist das Integral nichts anderes als:

\int_{0}^{2} \int_{0}^{\frac{1}{2} x} 2 d y d x = \int_{0}^{2} x d x = 2

davon die Hälfte ist die gesuchte Fläche.

Ist das richtig so und im Sinne der Aufgabe?

hagman aktiv_icon

22:09 Uhr, 17.01.2012

Um aus

γ_{1} (t) = (\begin{matrix} t \\ 0 \end{matrix}), t \in [0,1]

und

γ_{2} (t) = (\begin{matrix} 2 - 2 t \\ t \end{matrix}), t \in [0,1]

und

γ_{3} (t) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 - t \end{matrix}), t \in [0,1]

eine einzige Kurve zu machen, kannst du

γ (t) = γ_{1} (t)

für

t \in [0,1], = γ_{2} (t - 1)

für

t \in (1,2], = γ_{3} (t - 2)

für

t \in (2,3]

definieren;

γ

ist dann auf

[0,3]

definiert.

complacer aktiv_icon

13:30 Uhr, 18.01.2012

Alles klar! Danke euch!

964054

963740

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?