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Parametrisierung, Stokes

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Integration

Tags: Integration, parametrisierung, stokes

Floriannnn aktiv_icon

09:16 Uhr, 17.02.2017

Hallo Zusammen,

Hier eine weitere Aufgabe:

v (x, y, z) = (\begin{matrix} x + z \\ β x + y + z \\ x + y \end{matrix}), β

element von

ℝ

sei gegeben.

Berechnen sie mit dem Satz von Stokes das Integral

I=

\int_{C} v (x, y, z) \cdot d σ,

wobei die positiv orientierte Randkurve

C

durch den Schnitt des Zylinders

x^{2} + y^{2} = 1

mit der Ebene

x + y + z = 1

gegeben ist.

Wie komme ich auf

C

?
Ich habe bisher in Parametrisierung nicht so Übung und weiß gar nicht, wo ich anfangen soll ?

Vielen Dank für eure Hilfe :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mihisu aktiv_icon

07:13 Uhr, 18.02.2017

Wegen dem Zylinder würde ich mich erst einmal an Zylinderkoordinaten Orientieren.

x = r \cdot cos (φ)

y = r \cdot sin (φ)

z = z

Aus der Gleichung

x^{2} + y^{2} = 1

erhält man dann

r = 1

x = cos (φ)

y = sin (φ)

z = z

Mit Hilfe der Gleichung

x + y + z = 1

erhält man dann auch

z

in Abhängigkeit von

φ

x = cos (φ)

y = sin (φ)

z = 1 - x - y = 1 - cos (φ) - sin (φ)

Dementsprechend ist also eine mögliche Parametriesierung gegeben durch

x = cos (φ)

y = sin (φ)

z = 1 - cos (φ) - sin (φ)

für

φ \in [0, 2 π [

Floriannnn aktiv_icon

09:01 Uhr, 18.02.2017

Vielen Dank für die Antwort :-)

das hab ich in dem Fall verstanden.

jetzt soll ich aber weiter machen und mit Stokes das Integral ausrechnen.

In einer Übung wurde das folgendermaßen gemacht:

\int_{s} V

Nds=

\int_{s}

rot

G

Nds=

\int_{d \cdot s} G

dK

Und dann wurde ds parametrisiert

\to K_{1} (t) =

\to K_{2} (t) =

\to K_{3} (t) =

es kam immer ein Vektor, wie

z . B

{(1 - t, t,0)}^{T}, t

element

[0,1]

Ich verstehe nicht, wie die Parametrisierung funktioniert. Oder kennt ihr einen besseren Weg ?

Ich bedanke mich bei jedem, der mir weiterhelfen kann :-)

mihisu aktiv_icon

20:16 Uhr, 19.02.2017

Was ich nicht ganz nachvollziehen kann, ist warum beim Integral ein Flächenelement

d σ

steht, aber nicht über eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit integriert wird, sondern über eine Kurve (also eine eindimensionale Mannigfaltigkeit). Das macht keinen Sinn. Ich denke es soll über eine Fläche

S

mit Randkurve

C

integrieren, also mit

\partial S = C

. Zumindest denke ich einmal, dass

d σ

ein vektorielles Flächenelement ist. Hast du evtl. die originale Aufgabenstellung auch als Bild (Screenshot/Foto/Scan) da? Dann wird das evtl. klarer.

Wenn ich richtig liege, dann ist nach Satz von Stokes:

\int_{S} \vec{v} (x, y, z) \cdot \vec{d σ}

= \int_{C} r o t \vec{v} (x, y, z) \cdot \vec{d s}

= \int_{C} (\begin{matrix} 1 - 1 \\ 1 - 1 \\ β - 0 \end{matrix}) \cdot \vec{d s}

= \int_{0}^{2 π} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ β \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - sin (φ) \\ cos (φ) \\ sin (φ) - cos (φ) \end{matrix}) d φ

= \int_{0}^{2 π} β (sin (φ) - cos (φ)) d φ

= β (- cos (2 π) - sin (2 π)) - β (- cos (0) - sin (0))

= β \cdot (- 1) - β \cdot (- 1) = 0

Außer ich habe das Integral falsch interpretiert und

d σ

soll nicht das vektorielle Flächenelement sein, sondern beispielsweise das skalare Flächenelement oder das Linienelement. Das müsstest du jedoch abklären oder zumindest die originale Aufgabenstellung möglichst mit genau den gleichen Zeichen anhängen (evtl. als Bild).

Floriannnn aktiv_icon

10:07 Uhr, 20.02.2017

Vielen Dank für die Antwort mihiso.

Du hast recht mit dem Integral, es heißt am ende ds und nicht

d σ

.

sonst müsste es eigentlich stimmen. In der Lösung kommt er aber auf

β π

im Ergebnis. Der Unterschied besteht im ds.

Ich dachte das ist das abgeleitete Kreuzprodukt unserer Aufgestellten Ebene oder Kurve oder Oberfläche

c = (\begin{matrix} x \\ y \\ 1 - x - y \end{matrix})

Demnach

\frac{\partial c}{\partial x} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) x (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}) = \frac{\partial C}{\partial y}

Das Ganze ist

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Weiter ist dann I=

\int_{c}

rot(v)*ds

= \int_{c} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ β \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) =

Er zieht dann das

β

vor

β \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 π} r d φ

dr

Warum untegriert man hier nicht auch noch über

z

?

Vielen Dank für die gute Hilfe !

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