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Parametrisierung Zylinderdeckel-Boden

Universität / Fachhochschule

Tags: Parametrisieren, Zylinder

Connor1 aktiv_icon

06:05 Uhr, 19.12.2019

Hallo,

ich habe eine Frage zur Aufgabe im Anhang.

Erstmal wollte ich Fragen ob ich die Parametrisierung des Zylinders richtig aufgestellt habe.

x (r, φ) = (\begin{matrix} r cos (φ) \\ r sin (φ) \\ r^{2} - 1 \end{matrix}), φ \in [0,2 π], r \in [0, \sqrt{2}]

Ich habe keinen Plan welche Parametrisierung ich in Aufgabenteil

b)

aufstellen muss.

Die Höhe des Zylinders ist doch durch die z-Achse beschrieben, richtig?
Wenn jetzt

z \in [- 1,1]

muss dann die Parametrisierung für den für Boden bzw Deckel so aussehen?

B (r, φ) = (\begin{matrix} r cos (φ) \\ r sin (φ) \\ - 1 \end{matrix}), φ \in [0,2 π], r \in [0, \sqrt{2}]

D (r, φ) = (\begin{matrix} r cos (φ) \\ r sin (φ) \\ 1 \end{matrix}), φ \in [0,2 π], r \in [0, \sqrt{2}]

Ich muss ja nur die Randkurve parametrisieren... habe ich hier nicht die Fläche parametrisiert?

Gruß
Connor

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Connor1 aktiv_icon

07:37 Uhr, 19.12.2019

Also bei Aufgabenteil

b)

habe ich jetzt in die Parametrisierung für den Zylinder für den Boden

r = - 1

gesetzt und für den Deckel

r = 1

.
Stimmt das so?

pwmeyer aktiv_icon

11:09 Uhr, 19.12.2019

Hallo,

Deine Parametrisierung für den Zylinder, also für den 3-dimensionalen Körper, ist falsch. Das siehst Du schon daran, dass Du dafür doch 3 Parameter brauchst. Auch sehe ich nicht, woher Du die Intervallgrenze

\sqrt{2}

nimmst. Außerdem muss dann die Paremtrisierung für die Außenflächen, also auch Boden und Deckel, die Du ja richtig angegeben hast, sich daraus ableiten lassen

Versuche doch mal, Dir eine Skizze von dem Zylinder zu machen.

Gruß pwm

Connor1 aktiv_icon

11:17 Uhr, 19.12.2019

muss es

x (r, φ, z)

heißen?

Also ich habe

z = x^{2} + y^{2} - 1

gesetzt und dann in Polarkoordinaten umgeschrieben in

z = r^{2} - 1 . .

.

Ich darf hier wohl nicht einfach so umformen...

Auf

r = [0, \sqrt{2}]

bin ich dann gekommen indem ich

- 1 \leq r^{2} - 1 \leq 1

umgeformt habe...

Also wenn das falsch ist und ich trotzdem in Polarkoordinaten arbeiten will, wie komme ich dann auf die z-Koordinate?
Ist der Radius des Zylinders

r = 1

pwmeyer aktiv_icon

12:00 Uhr, 19.12.2019

Hallo,

"Also ich habe z=x2+y2−1 gesetzt " Dafür gibt es nach der Aufgabenstellung keinen Grund. Um Dir das nochmal klar zu machen, solltest Du mal in Deiner Parametrisierung

φ = 0

setzen, das wäre ein Schnitt durch die x-z-Ebene und das dann skizzieren.

Die richtige Parametrisierung ist:

x = r \cdot cos (φ), y = r \cdot sin (φ), z = s

mit

0 \leq r \leq 1, 0 \leq φ < 2 \cdot π, - 1 \leq s \leq 1

(ich habe jetzt einen Parameter

s

benutzt, um die Parameter gegeben die Koordinaten abzusetzen, oft wird statt

s

einfach

z

genommen)

Den zylindermantel erhält man dann durch

r = 1

und die Boden und Deckel durch

s = - 1

oder

s = 1

Gruß pwm

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