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Parametrisierung finden

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Differentialgeometrie

Tags: Differentialgeometrie, Flächen im Raum, Flächenpatametrisierung, Kurve, Kurven im Raum, Parameterdarstellung, parametrisierung

limes007 aktiv_icon

11:07 Uhr, 26.04.2020

Hallo zusammen,

Ich habe eine Frage zur Parametrisierung von Kurven/Flächen.
Wir hatten folgende Aufgabe gestellt. Es war ein Vektorfeld

v : ℝ

ℝ

{

\to ℝ^{2}

gegeben mit v(x,y)=(x^2÷y,

0)^{T}

und eine Menge

G := {(x, y) \in ℝ^{2} | 1 \leq x \leq 2

und

1 \leq y \leq x^{2}}

Wir sollten dann das Wegintegral

\int v \cdot

Tg ds (Integral geht über

\partial G)

berechnen. Wie das mit Hilfe eines Integralsatzes funktioniert ist mir klar.

Wie kann ich jedoch dieses Integral ohne einen Integralsatz lösen?

In der Lösung dieser Aufgabe wurde die Parametrisierung

γ (t) = {(2 - t, {(2 - t)}^{2})}^{T}

verwendet.

Wie komme ich auf diese Parametrisierung?

Wie kann ich im Allgemeinen eine Parametrisierung für eine Kurve bestimmen?

Vielen lieben Dank für eure Hilfe :-)

Limes007

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

11:24 Uhr, 26.04.2020

Hallo,

die von Dir angegebene Parametrisierung bezieht sich offenbar auf den oberen Rand des Gebietes

G,

also die Parabel

y = x^{2}

. Also wäre auch dies eine Parametriesierung:

γ : [1,2] \to ℝ^{2}, γ (t) := (t, t^{2})

Allerdings soll das Gebiet wohl im Gegenuhrzeigersinn umlaufen werden, also muss man "von rechts nach links" laufen, das geht eben mit:

γ : [0,1] \to ℝ^{2}, γ (t) := (2 - t, {(2 - t)}^{2})

Gruß pwm

ledum aktiv_icon

11:27 Uhr, 26.04.2020

Hallo
die Randkurve ist offensichtlich

y = x^{2}

also könnte man sie mit

(t, t^{2})

beschreiben, mit

1 \leq t \leq 2

wegen des Randes

1 \leq x \leq 2

man will aber üblicherweise

0 \leq t \leq 1

dann hat man die Möglichkeit

(1 + t, {(1 + t)}^{2})

oder

(2 - t, {(2 - t)}^{2})

welche man wählt kommt darauf an, in welcher Richtung man den Rand durchläuft, von rechts nach links oder von links nach rechts
Gruß ledum

limes007 aktiv_icon

11:34 Uhr, 26.04.2020

Okay. Vielen lieben Dank für eure Antworten.

Wie komme ich jedoch drauf,dass

0 \leq t \leq 1

sein muss?

Wie komme ich den im Allgemeinen auf eine Parametrisierung?

Muss die aus der Menge und der Funktion ablesen oder gibt es da eine Vorschrift wie ich vorgehen muss, um auf die Parametrisierung zu kommen?

ledum aktiv_icon

12:23 Uhr, 26.04.2020

Hallo
man kann das auch anders machen, aber es ist üblich

t

von 0 bis 1 laufen zu lassen, (wenn man das immer tut entstehen weniger Fehler)
Gruß lul

ledum aktiv_icon

12:23 Uhr, 26.04.2020

Hallo
man kann das auch anders machen, aber es ist üblich

t

von 0 bis 1 laufen zu lassen, (wenn man das immer tut entstehen weniger Fehler)
Gruß lul

ledum aktiv_icon

12:24 Uhr, 26.04.2020

Hallo
man kann das auch anders machen, aber es ist üblich

t

von 0 bis 1 laufen zu lassen, (wenn man das immer tut entstehen weniger Fehler)
Gruß lul

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