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Paramter-Normalvektor-Allgemeine Darstellung

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 10. Klassenstufe

Tags: Darstellung gerade

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19:50 Uhr, 19.03.2014

Hallo ihr lieben :-)

Ich bräuchte unbedingt Hilfe bei folgendem :
Wie forme ich eine Geradengleichung in eine Parameterdarstellung bzw eine
Normalvektorform?
Es will mir einfach nicht einleuchten und ich wäre sehr dankbar über jede Hilfe :-)

Folgende Gerade wollte ich umwandeln

\to

g : - 4 x + 3 y = 42

um es zu vereinfachen habe ich :

y = \frac{4}{3} x + \frac{42}{3}

Ich bin für jede Hilfe dankbar !
LG lenico

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

20:25 Uhr, 19.03.2014

Hilfreich ist die Beziehung zwischen Anstieg

k

einer Geraden und Richtungsvektor

\vec{v}

.
Es gilt

\vec{v} = (\begin{matrix} 1 \\ k \end{matrix})

k

bekannt ist, läßt sich der Richtungsvektor leicht berechnen.
Für die Parameterform braucht man dann nur noch einen "festen" Punkt auf der Geraden.

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21:31 Uhr, 19.03.2014

der Richtungsvektor wäre in dem Fall

\frac{3}{4}

oder?
Wie komme ich auf den festen Punkt?
Und würdest du mir nochmals erklären was für eine Rolle die
Steigung

k

bei dem ganzen spielt? Ich verstehs nicht ganz.

LG

Respon

21:37 Uhr, 19.03.2014

Der Anstieg deiner Geraden ist

\frac{4}{3}

Der Richtungsvektor der Geraden ist daher

\vec{v} = (\begin{matrix} 1 \\ \frac{4}{3} \end{matrix})

Da ich einen Richtungsvektor beliebig mit einem konstanten Faktor multiplizieren kann

\Rightarrow (\begin{matrix} 1 \\ \frac{4}{3} \end{matrix}) | | (\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix})

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21:42 Uhr, 19.03.2014

Also brauche ich den Anstieg um daraus auf den Richtungsvektor zu kommen oder wie?

und wie bist du von ⇒(1/4/3) auf

(\frac{3}{4})

gekommen?

Ich habe es aus der Geradengleichung (bevor ich sie umgeformt habe) herausgelesen.

Wie kommt man nun auf einen Punkt der auf der Geraden liegt, ohne mühsam Punkte ein zu setzten und zu hoffen, dass diese Punkte auf der

g

liegen?

Respon

21:46 Uhr, 19.03.2014

Ich habe

(\begin{matrix} 1 \\ \frac{4}{3} \end{matrix})

mit 3 multipliziert.
Ist die Geradengleichung

- 4 \cdot x + 3 \cdot y = 42,

so kann ich EINE Koordinate des Geradenpunktes frei wählen. Ich setze

z . B

x = 0 \Rightarrow - 4 \cdot 0 + 3 \cdot y = 42 \Rightarrow y = 14

Also ist

P (0 | 14)

ein Punkt der Geraden.

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21:51 Uhr, 19.03.2014

Achsoooo, na jetzt leuchtets mir ein!
Vielen Dank! :-) Und das darf ich immer bei einer solchen Geradengleichung machen?

Kennst du dich vielleicht auch mit der Normalvektorform aus?
Wie würde ich eine Geradengleichung bzw eine Paramterform in eine Normalform umwandeln?

Danke für die Hilfe nochmals!

LG

Respon

21:57 Uhr, 19.03.2014

Die Normalvektorform sieht ja so aus

X \cdot \vec{n} = A \cdot \vec{n}

oder

(X - A) \cdot n = 0

Dabei ist wieder A unser "fester" Punkt und

\vec{v}

der Normalvektor.
Ist

z . B (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})

ein Richtungsvektor, dann ist der dazugehörige Normalvektor

(\begin{matrix} b \\ - a \end{matrix})

oder

(\begin{matrix} - b \\ a \end{matrix})

Also wäre unser Normalvektor

(\begin{matrix} 4 \\ - 3 \end{matrix})

oder

(\begin{matrix} - 4 \\ 3 \end{matrix})

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22:03 Uhr, 19.03.2014

Ja voll! Das würde heißen, dass zb: diese Parameterform

X = (\frac{2}{3}) + t \cdot (\frac{5}{6})

umgewandelt so ausschauen würde?

(\frac{x}{y}) \cdot (\frac{6}{- 5}) = (\frac{2}{3}) \cdot (\frac{6}{- 5})

stimmt das so? :-)

Respon

22:07 Uhr, 19.03.2014

Also ich vermute, dass du Folgendes schreiben wolltest:

X = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 6 \end{matrix})

( Das hat mit unserem Beispiel aber nichts zu tun )

Respon

22:08 Uhr, 19.03.2014

Und was darunter steht, kann ich leider nicht interpretieren. Verwende bitte den Formeleditor.

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22:12 Uhr, 19.03.2014

Es tut mir leid, ja genau das wollte ich schreiben. Ich wollte mit diesem Beispiel nur schauen ob ich nun verstanden habe wie man eine Parameterform in eine Normalvektorform umändert.

Jedenfalls vielen Dank für die Hilfe und für die Zeit die du dir genommen hast mir zu helfen. Das weiß ich zu schätzen.

Liebe Grüße
Lenico

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22:31 Uhr, 19.03.2014

Falls ich dich noch etwas fragen darf:
Wann darf man denn die HNF verwenden?
Wir haben diese in der Schule zwar schon besprochen, aber nicht wirklich angewendet und daher die Frage.

Respon

22:46 Uhr, 19.03.2014

Die HNF wird verwendet, um den Abstand eines Punktes von einer Geraden ( und später auch einer Ebene ) zu bestimmen.
Es gibt zwei Schreibweisen:

a \cdot x + b \cdot y + c = 0 \Rightarrow \frac{a \cdot x + b \cdot y + c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = 0

Für

x

und

y

setzt man dann die Koordinaten des Punktes ein.

AM

\cdot n_{0} = 0

Hier bildet man den Vektor AM.

So unterschiedlich das auch aussehen mag, es ist der gleiche Rechenvorgang.

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