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Paramterisierung einer Tangente

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Tags: Sonstiges

maurice05 aktiv_icon

16:49 Uhr, 13.01.2014

Hey zusammen

Wir haben das Thema Parametrisierungen von Geraden und Kurven ein wenig angeschnitten doch leider kann ich mich damit nicht anfreunden und habe immer wieder Probleme als ich dachte es verstanden zu haben sties ich auf diese Beispielaufgabe:

Wie lautet die Tangente im Punkt

(1, 2)

der parametrisierten Kurve

x = t^{3}; y = 2 t

Lösung. Zunächst müssen wir überprüfen, ob der Punkt

(1, 2)

auch tatsächlich auf
der Kurve liegt. Dies ist für

t = 1

tatsächlich auch der Fall. Die Geschwindigkeit in
x− und y−Richtung ergibt sich durch die Ableitung der Parametergleichungen:

vx

= \frac{d x}{d t} = 3 t^{2}

und vy

= \frac{d y}{d t} = 2

Für

t = 1

folgt dann vx=3 und vy=2. Damit hat die Tangente die parametrisieren
Gleichungen

x = 1 + 3 t; y = 2 + 2 t

Die Frage die sich mir stellt ist bzw ich dachte das Paramtersierungen von Gleichungen diese sind mit

z . B

y = 3 \cdot t

und

x = 6 \cdot t

also einfach Gleichungen wo

x

und

y

separat sind doch ich verstehe nicht weshalb man hier wieder eine Parametrisierung angiebt ich dachte hier sollte man die Gleichung einer Tangente berechnen sodass man dan

y = m \cdot x + q

hat könnte hier mir jemand helfen wieso man dies so berechnet wie oben berechnet und nicht in eine geradengleichung umrechnet Vielen Dank.

Mfg Maurice

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

prodomo aktiv_icon

17:07 Uhr, 13.01.2014

Auch eine parametrisierte Form ist eine Geradengleichung, allerdings erfordert eine Gerade keine Parameterdarstellung, weil man einen linearen Zusammenhang immer direkt als

y = f (x)

schreiben kann.

suloo aktiv_icon

17:08 Uhr, 13.01.2014

Du hast doch Geradegleichungen:

y = m x + q

y = 2 t + 2

x = 3 t + 1

.

Nur dass dein

x

diesmal ein

t

ist.

maurice05 aktiv_icon

18:00 Uhr, 13.01.2014

Doch weshalb parametrisiert man dan hier noch mal die Parametrisierung ist doch bereits durch

x = t^{3}; y = 2 t

gegeben ?

prodomo aktiv_icon

07:11 Uhr, 14.01.2014

Parameterformen nutzt man meist, wenn eine Funktionsgleichung

y = f (x)

schwer zu finden ist oder sogar unmöglich,

z . B

. weil der Graph nur abschnittsweise als Funktion darstellbar ist. So sind

z . B

x = r \cdot cos (t)

und

y = r \cdot sin (t)

Funktionen, während die gleiche Kurve (Kreis) nur mit 2 Halbkreisen als 2 Funktionen der Form

y = f (x)

beschrieben werden kann.
Bei deinem Beispiel wäre auch

y = 2 \cdot x^{\frac{1}{3}}

möglich und die Tangente ließe sich als

y = \frac{2}{3} \cdot x + \frac{4}{3}

darstellen. Insofern dürfte es sich hier um ein bewusst gewähltes einfaches Übungsbeispiel handeln, das man dazu noch in der altbekannten Form überprüfen kann.
Schwer wird es früh genug !

maurice05 aktiv_icon

08:35 Uhr, 14.01.2014

Super vielen Dank damit kommt ein wenig Licht ins Dunkle doch verstehe ich immer noch nicht weshalb man hier eine Parametrisierung der Parametrisierung nimmt das mach für mich einfach keinen Sinn.

prodomo aktiv_icon

09:56 Uhr, 14.01.2014

Nein, eine "Parametrisierung der Parametrisierung" ist das nicht, sondern eine einfache Parametrisierung der Tangentengleichung. Mit Differenzialen wird das vielleicht etwas klarer. Man nutzt

f' = \frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x} = \frac{y' (t)}{x' (t)}

.

Und wäre dir ein Einstiegsbeispiel etwa der Form

x = 3 \cdot cos (t) + cos (2 \cdot t), y = 3 \cdot sin (t) - sin (2 \cdot t)

lieber gewesen. Zum Spaß kannst du ja versuchen, davon eine Tangente zu rechnen...

maurice05 aktiv_icon

10:44 Uhr, 14.01.2014

Vielen Dank denke nun habe ich es verstanden.

Mfg

Maurice

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