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Parbelbogen berechnen

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Integral, Länge, Parabelbogen

Bachmann aktiv_icon

19:00 Uhr, 21.11.2012

Hi Leute! Ich bin der Michi, studiere zZ Energie- Verkehrs und Umweltmanagement an der FH in Kapfenberg in der Steiermark. Bis auf Mathe läufts auch ganz gut. Bei uns in Mathe läuft das so, dass jeder eine Aufgabe ausfasst die er am Ende der Woche präsentieren muss. Meine Aufgabe beschäftigt sich mit der Berechnung der Länge eines Bogens (Parabel). Die Parabel geht von im Koordinatensystem von (-8|2) über (0|0) bis (8|2). Die Parabelgleichung hab ich relativ schnell rausgefunden, das müsste y= 0,03125*x^2 sein. Abgeleitet demnach: y´ = 0,0625*xSoweit so gut. Die Formel müsste dann also wie in der Grafik aussehen.

Weiter weiß ich jetzt nur dass man aus dem Term (0,0625x)^2 u bilden kann. Aber dann hakt alles. Ich komm einfach nicht drauf WIE ich es ausrechenen soll, was die weiteren Schritte sind. Als ob ich versuchen würde chinesisch zu reden :D

Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

LG

Michi
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

19:31 Uhr, 21.11.2012

. .

. deine Parabel ist axialsymmetrisch und geht durch

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

. damit hat die Parabel die Form:

y = a \cdot x^{2}

Faktor a über einsetzen eines Punktes,

z . B

(\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix}),

berechnen:

2 = a \cdot 8^{2} \Rightarrow a = \frac{2}{8^{2}} = \frac{1}{32}

Somit also:

y = \frac{1}{32} \cdot x^{2}

Die Bogenlänge geht

z . B

. über:

s = \int_{x_{0}}^{x_{1}} \sqrt{1 - f' {(x)}^{2}} d x

mit

f' (x) = \frac{1}{16} \cdot x

ergibt sich:

s = \int_{x_{0}}^{x_{1}} \sqrt{1 - {(\frac{1}{16} \cdot x)}^{2}} d x

mit den Grenzen ergibt sich:

s = \int_{- 8}^{8} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16^{2}}} d x

s = \int_{- 8}^{8} \sqrt{\frac{16^{2} - x^{2}}{16^{2}}} d x

s = \frac{1}{16} \cdot \int_{- 8}^{8} \sqrt{16^{2} - x^{2}} d x

. .

. auf die Herleitung des Integrals will ich hier mal verzichten:

s = \frac{1}{16} \cdot {[\frac{x}{2} \cdot \sqrt{16^{2} - x^{2}} + 128 \cdot a r c s i n (\frac{x}{16})]}_{- 8}^{8}

s = \frac{1}{16} \cdot [4 \cdot \sqrt{16^{2} - 64} + 128 \cdot a r c s i n (\frac{1}{2}) + 4 \cdot \sqrt{16^{2} - 64} - 128 \cdot a r c s i n (- \frac{1}{2})]

s = \frac{1}{16} \cdot [4 \cdot \sqrt{192} + 128 \cdot 0,5236 + 4 \cdot \sqrt{192} + 128 \cdot 0,5236]

s = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{192} + 8 \cdot 0,5236 + \frac{1}{4} \cdot \sqrt{192} + 8 \cdot 0,5236

s = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{192} + 16 \cdot 0,5236

s = \sqrt{48} + 8,3775

s = 4 \cdot \sqrt{3} + 8,3775

. .

. hier nochmal grob die herleitung der Bogenformel:

d s^{2} = d x^{2} + d y^{2}

d s = \sqrt{d x^{2} + d y^{2}}

\int d s = \int \sqrt{d x^{2} + d y^{2}}

s = \int \frac{\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}}{\sqrt{d x^{2}}} \cdot d x

s = \int \sqrt{\frac{d x^{2} + d y^{2}}{d x^{2}}} \cdot d x

s = \int \sqrt{1 + \frac{d y^{2}}{d x^{2}}} \cdot d x

s = \int \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}} \cdot d x

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