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Parkettieren mit Fünfeck. Kopfgeometrie
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Sonstig
 
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hallo, wer kennt sich mit parkettieren einer Ebene aus? Wie kann man mit einem beliebigen Fünfeck eine Ebene parkettieren? Mit einem regelmäßigen Fünfeck scheint es nicht zu funktionieren da die Innenwinkel bei Grad liegen und kein Teiler von Grad sind. Mit beliebigen soll es gehen. Warum? Danke und liebe Grüße Kati |
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Hallo, zeichne Dir ein regelmäßiges Sechseck mit Mittelpunkt. Wähle eine beliebige Seite aus und lege zwischen den Eckpunkten dieser Seite an beliebiger Stelle einen Punkt aus. Zeichne jetzt noch die Gerade durch diesen frei gewählten Punkt und den Mittelpunkt, so dass die Seite des Sechsecks, die der zuerst gewählten Seite gegenüber liegt, geschnitten wird. Diese Gerade teilt das Sechseck in 2 kongruente Fünfecke, die zueinander um 180° gedreht sind. Du kannst jetzt alle Parkettteile gleich produzieren, dann ist das Verlegen einfach oder Du kannst, um etwas Abwechslung hineinzubringen, sogar jedes Paar mit einem anderen Schnitt produzieren, musst dann aber beim Verlegen aufpassen, dass Du immer den passenden Partner findest! Letztendlich machs Du aus den Fünfeck-Paaren ein Sechseck und mit den so gelegten Sechsecken kann man dann eine ganze Fläche parkettieren! Alternative Möglichkeit: Nimm ein beliebiges Rechteck und wähle Dir eine der vier Seiten. Auf dieser Seite zeichnest Du den Mittelpunkt ein. Auf der einen Nachbarseite wählst Du einen beliebigen Punkt zwischen den Eckpunkten. Jetzt verbindest Du diese beiden Punkte. Wenn Du jetzt noch auf der anderen Nachbarseite den Punkt einzeichnest, der vom Mittelpunkt der zuerst gewählten Seite den selben Abstand hat, wie der zweite gewählte Punkt, dann erhältst Du ein Fünfeck, das im Mittelpunkt der zuerst gewählten Seite sozusagen die Spitze des Daches eines symmetrischen Hauses ist. Lege Haus neben Haus mit den Spitzen nach oben und dann in die entstandenen Zacken Haus neben Haus mit den Spitzen nach unten. Du erhälts eine beliebig lange Bahn aus Fünfecken. Da kann dann wieder jede Bahn gleich sein oder aber jede Bahn aus einem anderen Rechteck oder mit einem anderen gewähltem Punkt auf der Nachbarseite bestehen oder man kombiniert beides, so dass die Ausgangsrechtecke unterschiedlich sind und die "Dächer" mal "steiler" und mal "flacher" sind. Da ist alles möglich, so lange man in einer Bahn immer gleich bleibt... Oder als dritter Vorschlag: Beginne wieder mit dem Rechteck, aus dem Du wieder "ein Haus mit Dach" machst. Dann gibt es vom ehemaligen Rechteck noch zwei Ecken, die zu dm Fünfeck gehören. Wähle eine der beiden Ecken aus und schneide noch ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck ab, wobei die rechte Ecke natürlich an der anderen, nicht gewählten Ecke des Rechtecks liegt und der Schnitt nicht "bis in das Dach" gehen darf. Wenn Du diese Fünfecke so nebeneinander legst, dass die "unteren Dachecken" immer nebeneinander liegen, dann erhältst Du eine an beiden Seiten unterschiedlich gezackte Bahn. Diese kannst Du in beide Richtungen fortsetzen, indem Du an der einen Seite mit den "Dächern" eine gezackte Bahn ebenfalls mit der "Dächerseite" anlegst, wobei die "Dächer" den selben Winkel haben müssen und die "Häuser" gleich breit sein müssen. Auf der anderen Seite kannst Du die schrägen Grundseiten von "Häusern" anlegen, die genauso breit sind und das abgeschnittene Dreieck die kongruent sind. Auch hier ist immer nur an einer Seite der gezackten Bahn der Übergang zur nächsten Bahn vorgegeben, die andere Seite ist wieder frei wählbar (im Rahmen, dass ein "Dach" ein "Dach" sein muss und eine "schiefe Grundseite" eine "schiefe Grundseite", sonst ist das dann möglicherweise kein Fünfeck mehr... Jetzt noch ein vierter Vorschlag. Nimm ein kariertes Blatt Papier und zeichne dort ein Kreuz aus 5 Quadraten ein, . es gibt ein mittleres Quadrat und an jeder der vier Seiten dieses Quadrats liegt ein gleichgroßes Quadrat. Wenn Du dieses Kreuz hast, dann verschiebe das Kreuz nach dem Prinzip des Rösselsprungs . zwei Kästchen nach unten und ein Kästchen nach rechst. Dort erhältst Du das nächste Kreuz. Wenn Du das immer weiter machst, erhältst Du ein schräges Band mit Zacken, das Du jetzt ebenfalls nach rechts oder links verschieben kannst. Die beiden Zackenseiten lassen sich leicht versetzt aneinanderfügen. So erhältst Du eine ganze Fläche mit 12-eckigen Kreuzen. Jetzt muss Du nur noch bei allen Kreuzen das mittlere Quadrat entlang der Diagonalen vierteln, so dass sich aus dem Viertel und dem angrenzenden Quadrat des Kreuzes wieder "ein Haus mit Dach" ergibt. Nur liegen hier die Dächer immer zu einem Quadrat ergänzt zusammen. |
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danke ich werde es probieren! sobald ich es gelöst habe hake ich die frage hier ab :-) |
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Warum nutzt du nicht die Suchmaschine deines Vertrauens? Gerade zu dem Thema finden sich doch sehr rasch passende Links zu den derzeit bekannten Typen konvexer Fünfecke, mit denen eine Ebenenparkettierung möglich ist. Exemplarisch zwei davon: http//www.mathematische-basteleien.de/parkett2.htm de.wikipedia.org/wiki/Parkettierung_mit_F%C3%BCnfecken |
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danke |
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