 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Parkplatzproblem
Parkplatzproblem
Schüler Fachschulen, 11. Klassenstufe
Tags: Stochastik
 
|
anonymous 21:24 Uhr, 22.09.2004  |
|
|---|---|
|
Hab zwar erst seit einem Jahr keine Stochastik mehr gemacht, aber bei den nicht-08-15-Aufgaben versteh ich schon wieder nur Bahnhof... Wäre für Hilfe bei meinen "Parkplatzproblemen" dankbar:) Parkplatzproblem Teil 1 "Auf Parkplatz A sollen 13 Fahrzeuge in 2 Reihen untergebracht werden. Die erste Reihe enthält 6 Parkplätze, die zweite 7. 4 Autos sollen in die erste Reihe, 2 Autos in die zweite Reihe, mit den übrigen werden die restlichen Plätze in den beiden Reihen aufgefüllt. Wie viele Möglichkeiten gibt es, unter diesen Vorgaben die Autos zu verteilen?" Mein - zugegeben etwas simpler - Ansatz war: 7 Autos, 7 Plätze macht 7! Möglichkeiten. Mittlerweile habe ich verstanden, dass ich die anderen Autos mit einbeziehen muss, aber wie? 4! für die 1. Reihe + 2! für die 2 + 7! für den Rest kommt mir ein bisschen einfach vor... Parkplatzproblem Teil 2 "Parkplatz B ist für Betriebsangehörige reserviert. Die 20 Plätze sind von 1-20 nummeriert. Auf einem der Plätze, der kein Randplatz ist, steht der Wagen des Chefs. In der Mittagspause verlassen 7 Angestellte den vollbesetzen Parkplatz mit dem Auto. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind die beiden Plätze neben dem Wagen des Chefs nicht mehr besetzt?" Hier hat sich mein erster - falscher - Ansatz darauf beschränkt, die beiden Plätze neben dem Chef zu betrachten, für die Wahrsch., dass sie nicht besetzt sind, je 7/19 (von 19 Angestellten fahren 7 weg). Dass beide zusammen frei sind, also (7/19)^2. Auf eine neue Idee bin ich bis jetzt noch nicht gekommen... wieso sind die Plätze nummeriert? :) Würde mich freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. |
|
| |
 |
|
|
Hallo Lisa, Du musst bedenken, dass es mehrere Möglichkeiten gibt, die 4 Autos, welche in die 1. Reihe sollen, dort anzuordnen. Für jede dieser Möglichkeiten gibt es wieder mehrere, die 2, welche in die 2. Reihe sollen, dort anzuordnen. Und für jede dieser Möglichkeiten, gibt es dann (wie Du schon erkannt hast) 7! Möglichkeiten, den Rest anzuordnen. Wie viele Möglichkeiten gibt es denn, 4 Autos auf 7 Parkplätzen zu verteilen? Stell Dir vor, die Autos stehen in Reihe und Glied und füllen die 7 Parkplätze der Reihe nach auf, so wie Soldaten, wenn sie einen Besprechungsraum füllen. Jedes Mal, wenn die Soldaten den Raum füllen, nehmen sie in gleicher Ordnung auf den gleichen Stühlen Platz. Das denken sie zumindest. In Wirklichkeit habe ich während ihrer Abwesenheit die Stühle umgestellt, so dass sie sich ein bisschen auf andere Stühle setzten. Genauso geht das mit den Parkplätzen. Du mischst einfach die 7 Parkplätze jedes Mal anders und lässt die Autos dann der Reihe nach Platz nehmen. Es gibt 7! Möglichkeiten, die 7 Parkplätze der 1. Reihe anzuordnen. Aber nicht jede dieser 7! Möglichkeiten führt zu einer anderen Parkanordung. Wenn Du nämlich nur die Reihenfolge der hinteren 3 Platze geändert hast, merken die Autos den Unterschied nicht, weil sie ja nur die ersten 4 Plätze besetzten. Das heißt, für jede der insgesamt Z echten neuen Parkanordungen gibt es 3! Möglichkeiten, die hinteren 3 Parkplätze neu anzuordnen, ohne dass dadurch eine neue Parkordnung geschaffen wird. Es gilt also Z * 3! = 7! Z = 7! / 3! Wenn Du den Ausdruck (x)über(y) = x!/(y!*(x-y)!) kennst (dieser folgt aus ähnlicher Überlegung), geht das auch so: Es gibt (7)über(4) Möglichkeiten, 4 von 7 Parkplätzen auszuwählen. Für jede Auswahl davon gibt es 4! Möglichkeiten, die 4 Autos auf die 4 ausgewählten Plätze zu verteilen. Das sind dann insgesamt (7)über(4) * 4! = ... = 7! / 3! Um die 2 Autos in der 2. Reihe mit 6 Plätzen anzuordnen, ergeben sich 6! / 2! Möglichkeiten. Das macht bisher 7! / 3! * 6! / 2! Möglichkeiten. Wie bereits oben erwähnt gibt es für jede dieser Permutationen 7! Möglichkeiten, die verbleibenden 7 Autos zu verteilen. Also insgesamt 7! / 3! * 6! / 2! *7! Parkordnungen (wenn die Reihenfolge der Autos eine Rolle spielt). Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt und es nur darum geht, welche Autos in welcher Reihe stehen, geht die Aufgabe eher nach dem Schema www.onlinemathe.de/read.php?topicid=1000001762&read=1&kat=Schule: In der 1. Reihen sind noch 7-4=3 Plätze frei, in der 2. sind es 6-2=4. Es müssen 7 Autos darauf verteilt werden, macht 7! / (3!*4!) = (7)über(3) = (7)über(4) Möglichkeiten. Also 7! Möglichkeiten, die Autos anzuordnen, wobei für jede der Z echten Neuanordnungen 3! * 4! Anordnungen durch Vertauschen der 3 bzw. 4 Plätze der selben Reihe, äquivalent gewertet werden: Z*3!*4! = 7! Z = 7! / (3!*4!). Sorry, so viel wollte ich eigentlich gar nicht schreiben. Viele Grüße (falls Du es bis hier geschafft hast), rad238 |
|
|
|
|
|
2. Aufgabe: Die Wahrscheinlichkeit (W’keit) für das Abfahren eines bestimmten von 19 (20-1, der Chef bleibt ja) möglichen Autos ist 1/19. Wenn das mal weg ist, ist die W’keit für das wegfahren eines weiteren bestimmten Autos 1/18. Beim nächsten mal 1/17 u.s.w. Die W’keit für das Verschwinden einer bestimmten Delegation von 7 Autos in einer bestimmten Reihenfolge ist dann p = 1/19*1/18*...*1/13 Es sollen nun 2 bestimmte Autos (die Nachbarn vom Chef) abfahren. Es bleiben dann noch 5 Autos frei zu wählen, die ebenfalls abfahren, wobei 17 Autos dafür in Frage kommen (20 - 1 Chef – 2 Nachbarn). Es gibt (17)über(5) Möglichkeiten, von den 17 Autos 5 auszuwählen (siehe Aufgabe 1). Für jede dieser (17)über(5) Möglichkeiten, können diese zusammen mit den 2 Autos, die auf jeden Fall abfahren, in 7! verschiedene Reihenfolgen gebracht werden. Das sind (17)über(5) * 7! Elementarereignisse, bei denen die 2 Nachbarn vom Chef verschwinden. Jedes Elementarereignis hat die W’keit p. Die Gesamtwahrscheinlichkeit für das Wegfahren der Nachbarautos vom Chef ist somit P_ges = (17)über(5) * 7! * p = 12,28 % rad238 |
|
|
|
|
|
Vielen Dank für die Hilfe:) Beim 1. Problem bin ich mittlerweile auch schon weiter gekommen, ein Problem bleibt aber: Woher weiß ich, ob die Reihenfolge eine Rolle spielt oder nicht? Ich habe ja nur den Aufgabentext zur Verfügung und zwei Lösungen nebeneinander stehen lassen geht auch nicht... |
|
|
|
|
|
Hallo Lisa, ich bin Ingenieur, kein Jurist. Ob die Aufgabe nun so oder so gemeint ist, weiß ich nicht so genau. Aber wenn da steht: > Wie viele Möglichkeiten gibt es, unter diesen Vorgaben die Autos zu verteilen? <, dann würde ich sagen ... Ich bin mir da nicht sicher. Aber ehrlich gesagt Lisa, wenn Du nicht angefangen hättest, mit 7! herumzurechnen, wäre ich nie auf die Idee gekommen, dass die Reihenfolge eine Rolle spielen könnte. Die Autos sollen ja verteilt und nicht angeordnet werden. Wenn man Schulkinder bei der Einschulung auf verschiedenen Parallelklassen verteilt, legt man schließlich auch nicht die Sitzordnung fest. Und es geht hier ja um 2 verschidene Reihen mit offensichtlich verschiedenen Eigenschaften. Sonst wäre es ja nicht wichtig, dass diese 4 Autos in die 1. und jene 2 in die 2. Reihe kommen, bevor die restlichen 7 Autos verteilt werden Ich hab' aber schon mal bei einer Klausuraufgabe nur Minuspunkte bekommen, weil ich die falsch verstanden hatte und was ganz anderes ausgerechnet habe. Das macht Dir doch hoffendlich Mut! ;-)) rad238 |
|
|
|
|
|
Wollte auch eigentlich kein Jura studieren:) Aber irgendwie ist es doch immer Interpretationssache... Ich habe bei 2. "Problem" einen anderen Ansatz, mit dem ich zum selben Ergebnis komme: (7 über 2) / (19 über 7) = 12,28% Zufall oder sind die Ansätze äquivalant? Alles Liebe, Lisa |
|
|
|
|
|
Hallo Lisa, die (19 über 2) im Nenner, ist ja die Anzahl der Möglichkeiten, 7 von den 19 Autos, die wegfahren können, auszuwählen. Dann musst Du in den Zähler die Anzahl von Möglichkeiten schreiben, bei denen 7 Autos wegfahren, unter denen sich dann aber auf jeden Fall die beiden Nachbarn vom Chefauto befinden. Damit hättest Du dann die Anzahl der guten Ereignisse (die 2 Nachbarn vom Chef verschwinden) durch die Anzahl der insgesamt möglichen Ereignisse (7 von 19 Autos verschwinden) geteilt. Und so macht man das ja normalerweise in der Wahrscheinlichkeitsrechung. (7 über 2) ist aber, soweit ich das überblicken kann, keine gute Anzahl guter Ereignisse. Und bei mir kommt da auch nicht 12.28 % sondern eher (7 über 2) / (19 über 7) = 4.1677 * 10^(-4) = 0.041677 % raus. Das finde ich aber ’n bisschen wenig. (7 über 2) heißt ja, Du wählst 2 von 7 aus. Das ist nicht richtig. Die 2 Nachbarn vom Chef darfst Du nicht auswählen, die stehen schon fest – fest neben dem Chef geparkt. Und die müssen auf jeden Fall wegfahren. Das was noch frei zu wählen ist, sind die restliche 7-2=5 Autos, die auch wegfahren. Und wenn der Chef auf keinen Fall fährt, und seine beiden Nachbarn auf jeden Fall, dann bleiben von den ursprünglich 20 Autos noch 17 übrig, unter denen Du die 5 auswählen darfst, welche die 2 auf jeden Fall verschwindenden Autos begleichen werden. Also muss im Zähler (17 über 5) stehen. Dann heißt es also (17 über 5) / (19 über 7). ____________________________________________________ Das ist das Selbe wie (äquivalent mit) (17 über 5) * 7! * p, mit der Elementarwahrscheinlichkeit p = 1/19 * 1/18 * 1/17 * ... * 1/13 = 1 / ((19 über 7) * 7!). Den etwas längeren Weg über die Elementarereignisse und deren Wahrscheinlichkeit p, bei denen die Reihenfolge, in der die Autos wegfahren auch eine Rolle spielt, finde ich persönlich etwas einsichtiger als den anderen Weg, den ich oben zwar beschrieben habe, aber kaum überblicken kann. Liebe Grüße Andy |
|
|
|
|
|
Tut mir total leid, ich weiß nicht, wo ich mit meinen Gedanken war, als ich (7 über 2) geschrieben hab... das stammte aus einer komplett anderen Rechnung, natürlich steht in meinen Rechnung (17 über 5), sonst käme ich ja auch nicht auf 12,28%, denn auch wenn ich für Stochastik meist zu blöd, in den Taschenrechner eintippen kann ich noch ;) Aber du hast trotzdem gut erklärt, was ich gemeint hatte, obwohl ich was völlig Falsches hingeschrieben habe ;) Und jetzt leuchtet mir sogar der Weg über die Elementarwahrscheinlichkeit ein bisschen (!) mehr ein als vorher, obwohl mir die Elementarw'keit selbst immer noch nicht ganz klar ist. Vielen Dank für die Hilfe! |
437798
437791