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Partialbruchentwicklung von 1/sin²

Universität / Fachhochschule

Funktionentheorie

Tags: Funktionentheorie, kompakt absolute Konvergenz, Partialbruchentwicklung

 
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CainpLahn

CainpLahn

19:27 Uhr, 20.01.2020

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Moin zusammen,

hat jemand zufällig einen Lösungsansatz für folgende Aufgabe?



Leite die Partialbruchentwicklung von 1sin2 her, das heißt die Beziehung

π2sin(πz)2=m=-1(z-m)2      (z\),

und zeige die kompakte absolute Konvergenz der Reihe in \.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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pivot

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19:55 Uhr, 21.01.2020

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Hallo,

hast du denn noch nicht bemerkt, dass 1sin2 kein sinnvoller Term ist?


Gruß

pivot
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ermanus

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20:24 Uhr, 21.01.2020

Antworten
Hallo,
@pivot: ist dir entgangen, dass die ganzen Zahlen aus dem
Definitionsbereich entfernt wurden?
Glaubst du wirklich, dass eine so bekannte Aussage der Funktionentheorie
falsch ist?
Gruß ermanus
Antwort
pivot

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20:27 Uhr, 21.01.2020

Antworten
Benötigt denn die Sinusfunktion kein Argument mehr?
Antwort
ermanus

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20:33 Uhr, 21.01.2020

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Das ist doch wirklich nicht das Problem des Fragestellers !
Man kann doch auch mal etwas andeutungsweise formulieren.
Es ist doch klar, was er meinte :(
Antwort
pivot

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20:47 Uhr, 21.01.2020

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>>Das ist doch wirklich nicht das Problem des Fragestellers !<<

Das hat niemand behauptet. Ich dachte man sollte so essentielle Dinge nicht unerwähnt lassen. So ein Fehler schreckt auch potentielle Helfer ab. Das kann auch der Grund sein, dass auf die Frage nach einem Tag noch keine Antwort gepostet worden ist.
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ermanus

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20:54 Uhr, 21.01.2020

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Das kann ich nachvollziehen.
Nun ist aber sin, also auch ohne Nennung
eines Arguments vollkommen verständlich.
Dann kann ich auch den Ring [sin] bilden und auch
den zugehörigen Quotientenkörper. Ich erhalte dann einen Körper
meromorpher Funktionen, von denen eine sinnvollerweise 1sin2
heißen wird.
Antwort
pivot

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20:58 Uhr, 21.01.2020

Antworten
Wenn das alles klar ist, dann mach bitte weiter.
Antwort
ermanus

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21:18 Uhr, 21.01.2020

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Hallo CainPlahn,
welche Dinge darf man denn voraussetzen?
Etwas aus dem Nichts heraus herzuleiten scheint mir doch weit
jenseits des Niveaus einer normalen Aufgabe zu liegen ...
Gruß ermanus
CainpLahn

CainpLahn

21:52 Uhr, 21.01.2020

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Also momentan bin ich soweit, dass ich mir überlegt habe, dass die Nullstellen von sin(πz) bei mπ liegen für m
Also muss es eine Partialbruchzerlegung in folgender Form geben:

1sin2(πz)=m=-am(πz-mπ)2

Allerdings weiß ich nicht wie man jetzt noch zeigen kann, dass die am alle gleich 1 sind...
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ermanus

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11:01 Uhr, 22.01.2020

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Hallo,
ich habe es nicht durchgerechnet, aber man könnte es
mit der Fourierentwicklung der Eisensteinreihen
n=-1(z-n)k (hier k=2)
vielleicht hinbekommen ...
Gruß ermanus
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HAL9000

HAL9000

11:28 Uhr, 22.01.2020

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Ich verstehe ja von dieser Art komplexer Reihen nicht viel, aber die Funktion f(z):=π2sin2(πz)=m=-am(z-m)2 besitzt ja offenbar Periode 1, so dass für jede ganze Zahl k und alle z\ gelten muss

0=f(z+k)-f(z)=m=-am(z-(m-k))2-m=-am(z-m)2=m=-am+k-am(z-m)2

Da scheint es doch zumindest plausibel, dass alle am einander einander gleich sein müssen (mir fehlt dafür eine saubere Begründung, eine Art Identitätssatz für solche Reihen - da kenne ich mich nicht aus).

Antwort
ermanus

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14:13 Uhr, 22.01.2020

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Hallo,
interessanter Ansatz von HAL9000. Leider weiß ich nicht, ob man
solche Eindeutigkeitsaussagen hat. Ich habe dazu nichts Aufklärendes gefunden.
Schön wäre es, wenn ihr die Partialsummendarstellung von πcot(πz)
kennen dürftet. War die bei euch dran ?
Gruß ermanus
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