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Partialbruchzerlegung

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Partialbruchzerlegung

lufti23 aktiv_icon

23:36 Uhr, 11.08.2022

Hallo,

leider verstehe ich nicht ganz wie hier der Nenner zerlegt wurde. Kann mir das jemand erläutern?

mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

00:14 Uhr, 12.08.2022

1 .) \to

ZUERST : es ist

\to

\frac{x^{4} + 2 x^{3} + 2}{x^{3} + 2 x^{2}} = \frac{x \cdot (x^{3} + 2 x^{2}) + 2}{x^{3} + 2 x^{2}} = x + \frac{2}{x^{3} + 2 x^{2}}

2 .)

also geht es hier nur um die Partialbruch-Zerlegung von

\to \frac{2}{x^{3} + 2 x^{2}} = 2 \cdot [\frac{1}{x^{2} \cdot (x + 2)}]

Vorschlag:
welchen Ansatz macht man nun ?

\to \frac{1}{x^{2} \cdot (x + 2)} = ... .

.

Tipp:
grüner Punkt
(damit man sieht, ob du überhaupt noch da bist und Mann also nicht vergeblich weitermacht)

\to

Mein Bereich

\to

Privatsphäre

\to

Wer darf meinen Online-Status sehen?

\to

"Alle" anklicken
danke.

supporter aktiv_icon

05:59 Uhr, 12.08.2022

Eine einfache Polynomdivision tut's zum Start auch.
Die geht immer und erfordert keinen rundblickschen Scharfblick, der
hier zufällig auch schnell zum Ziel führt, weil Sonderfall.

Mathe45

09:32 Uhr, 12.08.2022

"...leider verstehe ich nicht ganz wie hier der Nenner zerlegt wurde. Kann mir das jemand erläutern? "

Vielleicht genügt schon dieser Hinweis

: x = 0

ist eine Doppelnullstelle des Nenners.

N8eule

11:06 Uhr, 12.08.2022

So ganz genau lässt du ja auch nicht verstehen, wo du in der Ecke feststeckst.

a)

Hast du gesehen / verstanden, dass sich aus dem Nenner der Faktor

x^{2}

ausklammern lässt?

x^{3} + 2 \cdot x^{2} = x^{2} \cdot (x + 2)

b)

Oder bist du dir einfach unsicher, wie bei faktorisieren Nennern die einzelnen Partialbrüche anzusetzen sind?

lufti23 aktiv_icon

11:07 Uhr, 12.08.2022

@rundblick
Mein Ansatz wäre dann:

\frac{1}{x^{2} \cdot (x + 2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x + 2}

und das dann nach dem üblichen PBZ Verfahren zu lösen. Passt das so?

@supporter
guter Tipp aber ich verstehe nicht ganz wie ich das hier benutzen kann? Könntest du mir das erläutern.

N8eule

11:07 Uhr, 12.08.2022

ja, guter Ansatz
:-)

lufti23 aktiv_icon

11:08 Uhr, 12.08.2022

Ich verstehe eigentlich alles bis auf den Tipp von @supporter (was auch die Anweisung der Aufgabenstellung ist) das mithilfe einer Polynomdivision durchzuführen

rundblick aktiv_icon

11:11 Uhr, 12.08.2022

.
oh sehe gerade:
dein Ansatz ist gut..

weiter so !
(und vergiss dan supporter)

.

lufti23 aktiv_icon

11:12 Uhr, 12.08.2022

Habe ich eben oben:-)

rundblick aktiv_icon

11:17 Uhr, 12.08.2022

.
"Habe ich eben oben "

. .

. JA

\to

hast du eine Idee zum Weitermachen ?

\to . .

\frac{1}{x^{2} \cdot (x + 2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x + 2} = \frac{A \cdot (. .) + B \cdot (. .) + C \cdot (. .)}{x^{2} \cdot (x + 2)}

\Rightarrow

1 = ... ... ... ...

.

nebenbei dazu:

"(was auch die Anweisung der Aufgabenstellung ist) das mithilfe einer Polynomdivision durchzuführen"

\to

diese Anweisung entspricht meinem ersten Lösungsschritt siehe

\to

00 : 14

Uhr,

12.08.2022 \to

"1.)→ ZUERST : es ist →

... ... ... ... ... ... ... ... .

.

:-)

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11:28 Uhr, 12.08.2022

"weiter so !
(und vergiss dan supporter)"

Vergiss diesen Satz, der Allesblicker hatte einer getrübten Blick und nicht
nicht erkannt, worum es mir ging. Seine übliche Polemik, die man hier ertragen muss.
Als Alleinseligmacher - das glaubt er meist zu sein- duldet er keine Konkurrenz,
auch wenn die nützliche Zusatzinfo geben möchte.

Zur PBZ:
www.mathebibel.de/partialbruchzerlegung

rundblick aktiv_icon

11:38 Uhr, 12.08.2022

hm.. da ist er schon wieder , der gestörte Typ ..
ok, was er kann: irgendwelche Fertigprogramme notieren..

aber ich nehme an, dass du, lufti23 , sicher lieber selbst alles Schritt für Schritt mal
alleine machen und können willst, um dann die Sache auch verstanden zu haben..

?
.

Mathe45

11:46 Uhr, 12.08.2022

@lufti23
Du schreibst :
"

. .

. das mithilfe einer Polynomdivision durchzuführen. "
Der Text lautet:
"Bestimmen Sie NACH Polynomdivision die Partialbruchzerlegung"
NACH und nicht MITHILFE.
Vielleicht ist das ein Teil deines Problems.

lufti23 aktiv_icon

11:51 Uhr, 12.08.2022

1 = A \cdot x \cdot (x + 2) + B \cdot (x + 2) + C \cdot x^{2}

\to A \cdot x^{2} + 2 \cdot A \cdot x + B \cdot x + 2 \cdot B + C \cdot x^{2} = 1

\to x^{2} \cdot (A + C) + x \cdot (2 \cdot A + B) + 2 \cdot B = 1

Nun mit Koeffizientenvergleich

\to B = \frac{1}{2}

2 \cdot A + B = 0 \to A = - \frac{1}{4}

A + C = 0 \to C = \frac{1}{4}

Final also:

x + 2 \cdot (- \frac{1}{4 x} + \frac{1}{2 \cdot x^{2}} + \frac{1}{4 (x + 2)}) = x + (- \frac{1}{2 x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2 (x + 2)})

Damit sollte die Aufgabe gelöst sein, und ich hab endlich meinen Fehler verstanden:-) Ich danke euch!!!

rundblick aktiv_icon

11:56 Uhr, 12.08.2022

.
noch kurz dazu:

"Bestimmen Sie NACH Polynomdivision die Partialbruchzerlegung"
"NACH und nicht MITHILFE.
Vielleicht ist das ein Teil deines Problems."

genau - siehe :

\to 00 : 14

Uhr,

12.08.2022

siehe deshalb dort schon

\to

"1.)→ ZUERST : es ist →

... ... ... ...

. :-)
na ja..

nun, du hast dich ja blitzartig aus dem

S t a u b

gemacht - aber vielleicht schaust du
irgendwann nochmal rein :

Tipp :
wenn der Grad des Zählerpolynoms grösser - oder gleich - dem Grad des Nennerpolynoms ist,
dann solltest du immer zuerst eine Polynomdivision durchführen (um die ganzen Anteile vorweg
zu ermitteln... usw...
Statt der Polynomdivision kann Mann manchmal diese Anteile und den Restbruch (wie hier) auch direkt sehen

. .

. :-)
.

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