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Integration mittels Partialbruchzerlegung

Schüler

Tags: Integrationsverfahren

kiz66 aktiv_icon

17:20 Uhr, 15.08.2011

Hallo leute ich hab da mal eine weitere frage
unszwar welche Integrationsverfahren gibt es den in der Partialbruchzerlegung?
kann mir die jemand kurz erklären und wann werden diese angewendet?
und in welchen besonderen Fällen gelangt man mit hilfe der partialbruchzerlegung zu einer Lösung?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

prodomo aktiv_icon

17:55 Uhr, 15.08.2011

Bleib doch erstmal bei einer Aufgabe. Die Integration hab ich doch schon angedeutet, aber vorher must du die Bruchdarstellung haben.

kiz66 aktiv_icon

11:42 Uhr, 16.08.2011

kannst du auch diese aufgabe auch bitte beantworten

kiz66 aktiv_icon

14:30 Uhr, 16.08.2011

weis den keiner eine antwort auf meine fragen
ich muss das für meine prüfung wissen

kiz66 aktiv_icon

16:21 Uhr, 16.08.2011

welche Integrationsverfahren gibt es den in der Partialbruchzerlegung?

funke_61 aktiv_icon

13:00 Uhr, 17.08.2011

Aus einer Partialbruchzerlegung entstehen grundsätzlich sogenannte Partialbrüche, die allgemein so aussehen können:
$1) \frac{A}{x - a}$ (einfache reele Nullstelle des Nenners)
$2) \frac{A}{{(x - a)}^{2}}$ (doppelte relle Nullstelle des Nenners)
Theoretisch könnte man so weitermachen und alle möglichen mehrfachen reellen Nullstellen des Nenners anschreiben. Das ist aber nicht mehr Abitur-Stoff)
$3) \frac{A}{a x^{2} + b x + c}$
(im Nenner ist eine Quadratische Funktion, die keine reele Nullstelle hat = "konjugiert komplexe Nullstelle"))
$4) \frac{A}{{(a x^{2} + b x + c)}^{2}}$
(im Nenner ist eine Quadratische Funktion die keine reelre Nullstelle hat (="konjugiert komplexe Nullstelle"), welche Ihrerseits doppelt ist). Theoretisch kann man dies auf alle mehrfachen konjugiert komplexen Nullstellen ausweiten. Das ist aber sicher nicht Abitur-Stoff)
$5) \frac{B x + C}{a x^{2} + b x + c}$
(lineare Funktion im Zähler, im Nenner ist eine Quadratische Funktion, die keine reele Nullstelle hat (="konjugiert komplexe Nullstelle"))
und
$6) \frac{B x + C}{{(a x^{2} + b x + c)}^{2}}$
(lineare Funktion im Zähler, im Nenner ist eine Quadratische Funktion die keine reelre Nullstelle hat (="konjugiert komplexe Nullstelle"), welche Ihrerseits doppelt ist). Theoretisch kann man dies auf alle mehrfachen konjugiert komplexen Nullstellen ausweiten. Das ist aber sicher nicht Abitur-Stoff).

Zunächst sollte man vor der Integration aller dieser Partialbrüche den konstanten Faktor ausklammern, dann entstehen in den in den im Abiturstoff vorkommenden Fällen:
$1) A \int \frac{1}{x - a} d x = A \cdot ln | (x - a) | + C$ (Integration mit einer ln-Funktion, ggf. nach Substitution)
$2) A \int \frac{1}{{(x - a)}^{2}} d x = - \frac{A}{x - a} + C$
$3) A \int \frac{1}{a x^{2} + b x + c} d x$
siehe Formelsammlung bzw. die Hilfestellung zu Deinem Thread "Stammfunktion einer Funktion bestimmen" bzw. die von Shipwater hergeleitete Formel in diesem Thread.
Allgemein lässt sich dieser Fall mit Integration durch Substitution auf eine Arcustangensfunktion als Stammfunktion zurückführen. Dazu solltest Du Dir mal die Ableitung der Funktion $f (x) =$ arctan $(x)$ betrachten ;-)
$5) B \int \frac{x}{a x^{2} + b x + c} d x + C \int \frac{1}{a x^{2} + b x + c} d x$
Erstes Integral: Lässt sich mit Integation durch Substitution zurückführen auf die Formel $\int \frac{f' (x)}{f (x)} d x = ln | f (x) | + C$
Zweites Integral: Das ist der Fall $3)$
Sonderfall: $\int \frac{2 a x + b}{a x^{2} + b x + c} d x = ln | a x^{2} + b x + c | + C$
Hier ist der Zähler schon die Ableitung des Nenners ;-)

Alle anderen Fälle $4), 5)$ und $6)$ sind meines Erachtens nicht Abi-Stoff

funke_61 aktiv_icon

15:31 Uhr, 17.08.2011

Wichtige Ergänzung:
Es erleichtert die Inegration des Falles $5),$ wenn man sich den geschilderten Sonderfall
$\int \frac{2 a x + b}{a x^{2} + b x + c}$
erzwingt, also zunächst im Integral
$\int \frac{B x + C}{a x^{2} + b x + c} d x$
den Faktor $\frac{B}{2 a}$ vor das Integral zieht (ausklammert):
$\frac{B}{2 a} \int \frac{2 a x + C \frac{2 a}{B}}{a x^{2} + b x + c} d x$
und nun den Bruch so in die Summe zweier Intergrale auftrennen, dass da steht:
$\frac{B}{2 a} (\int \frac{2 a x + b}{a x^{2} + b x + c} d x + \int \frac{C \frac{2 a}{B} - b}{a x^{2} + b x + c} d x)$
bzw. wenn man $\frac{B}{2 a}$ wieder in die Klammer hineinmultipliziert:
$\frac{B}{2 a} \int \frac{2 a x + b}{a x^{2} + b x + c} d x + \int \frac{C - b \frac{B}{2 a}}{a x^{2} + b x + c} d x$

Aber dieser Weg ist wohl am besten mit einem Beispiel zu zeigen ;-)
$\int \frac{4 x - 2}{x^{2} - 6 x + 10} d x$
zuerst erzwingen wir eine 2 vor dem $x$ im Zähler, indem wir eine entsprechende Konstante vor das Integral ziehen:
$2 \int \frac{2 x - 1}{x^{2} - 6 x + 10} d x$
dann teilen wir das Integral so auf zwei Integrale auf, dass im ersten Integral der Zähler die Ableitung des Nenners ist:
$2 (\int \frac{2 x - 6}{x^{2} - 6 x + 10} d x + \int \frac{- 1 + 6}{x^{2} - 6 x + 10} d x)$
dann die Klammer auflösen und das zweite Integral vereinfachen:
$2 \int \frac{2 x - 6}{x^{2} - 6 x + 10} d x + 2 \int \frac{5}{x^{2} - 6 x + 10} d x$
und im zweiten Integral noch den konstanten Zähler ausklammern:
$2 \int \frac{2 x - 6}{x^{2} - 6 x + 10} d x + 10 \int \frac{1}{x^{2} - 6 x + 10} d x$
Stammfunktion ist dann (mit der entsprechenden Formel):
$2 ln (x^{2} - 6 x + 10) + 10 (\frac{2}{\sqrt{4 \cdot 1 \cdot 10 - 6^{2}}}$ arctan $\frac{2 \cdot 1 \cdot x - 6}{\sqrt{4 \cdot 1 \cdot 10 - 6^{2}}}) + C$
$2 ln (x^{2} - 6 x + 10) + 10 (\frac{2}{\sqrt{40 - 36}}$ arctan $\frac{2 x - 6}{\sqrt{40 - 36}}) + C$
$2 ln (x^{2} - 6 x + 10) + 10 (\frac{2}{\sqrt{4}}$ arctan $\frac{2 x - 6}{\sqrt{4}}) + C$
$2 ln (x^{2} - 6 x + 10) + 10 (\frac{2}{2}$ arctan $\frac{2 x - 6}{2}) + C$
$2 ln (x^{2} - 6 x + 10) + 10$ arctan $(x - 3) + C$

prodomo aktiv_icon

09:35 Uhr, 18.08.2011

Beschränken wir uns auf Schulniveau.
Nullstellen des Nenners aufsuchen, ggf. Wertetabelle mit TR ausgeben lassen.
Dann als Nenner für die Partialbruchzerlegung Klammern der Form $(x - n)$ benutzen, wobei $n$ die Nullstelle sein soll. Doppelte Nullstellen ergeben Klammern ${(x - n)}^{2}$ .
Als Zähler Unbekannte $a, b,$ usw. nutzen, Hauptnhenner finen und erweitern. Dann den nach dem Erweitern zusammengefassten Zähler mit dem am Anfang gegebenen vergleichen. Die Koeffizienten gleicher Potenzen müssen gleich sein.
Brüche der Form $\frac{1}{x - k}$ als $ln (x - k)$ integrieren, quadratische Klammern ${(x - k)}^{2}$ als ${(x - k)}^{- 2}$ deuten und nach den Potenzregeln integrieren.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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