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Partialbruchzerlegung

Schüler Gymnasiale Oberstufe,

Tags: Brüche, komplexe Zalen, Polynomdivision

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20:08 Uhr, 19.11.2018

Hallo,

Ich soll eine reelle und komplexe Partialbruchzerlegung an einer Funktion durchführen jedoch komme ich an einer Stelle einfach nicht weiter....

Also die Funktion lautet:

\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 17}{x^{2} - 6 x + 9} = \frac{x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 17}{(x - 3) (x - 3)} = \frac{p (x)}{q (x)}

d e g (p) > d e g (q)

ist, muss eine Polynomdivision durchgeführt werden.

Aus der Polynomdivision folgt:

p (x) = (x + 2) * (x^{2} - 6 x + 9) - (x - 1)

Somit gilt für die Funktion

\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 17}{(x - 3) (x - 3)} = (x + 2) \frac{(x - 1)}{(x - 3) (x - 3)}

Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung lautet somit:

(x + 2) \frac{(x - 1)}{(x - 3) (x - 3)} = \frac{A}{(x - 3)} + \frac{B}{(x - 3)^{2}} + (x + 2)

Multiplizieren mit dem Hauptnenner:

(x + 2) - (x - 1) = A (x - 3) + B + (x + 2) * (x - 3) * (x - 3)

Um nun A und B zu bestimmen, kann man ja für B die Nullstelle X= 3 einsetzen:

3 = B

Da beide Nullstellen des Nenners x=3 ist muss man nun den Koeffizientenvergleich machen :

(x + 2) - (x - 1) = A (x - 3) + B + (x + 2) * (x - 3) * (x - 3)

3 = A x - 3 A + 3 + x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18

- x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 18 = A x - 3 A

Für den Koeffizientenvergleich würden die Zwei Gleichungen

3 x = A x \Rightarrow A = 3

und

- 18 = - 3 A \Rightarrow A = 6

folgen . Jedoch habe ich für A zwei verschiedene Werte raus... Was habe ich bei der Bestimmung von B oder A falsch gemacht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Polynomdivision

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Addition von Brüchen
Brüche - Einführung
Dezimalbrüche - Einführung
Grenzwerte im Unendlichen
Multiplikation und Division von Brüchen

Addition von Brüchen
Brüche - Einführung
Dezimalbrüche - Einführung
Grenzwerte im Unendlichen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

20:22 Uhr, 19.11.2018

Meinst du nicht

x + 2 + \frac{x - 1}{(x - 3) \cdot (x - 3)}

Und die tatsächliche Partialbruchzerlegung betrifft doch nur

\frac{x - 1}{(x - 3) \cdot (x - 3)}

\frac{x - 1}{(x - 3) \cdot (x - 3)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{{(x - 3)}^{2}} = \frac{A \cdot (x - 3) + B}{(x - 3) \cdot (x - 3)} = \frac{A \cdot x - 3 \cdot A + B}{(x - 3) \cdot (x - 3)}

\Rightarrow A = ...

und

B = . .

Melflower aktiv_icon

20:53 Uhr, 19.11.2018

Ja, genau, ich habe vergessen, dass + zwischen (x+2) und (x-1) zu packen...

Also für B bekomme ich ja dann 2 als Ergebnis durch das Einsetzen der Nullstelle und
beim Koeffizientenvergleich erhalte ich für A 1.

Danke für die Hilfe !

Respon

20:55 Uhr, 19.11.2018

Gern geschehen !

Melflower aktiv_icon

22:53 Uhr, 19.11.2018

Mir ist noch eine zusätzliche Frage eingefallen und zwar wäre die Lösung, die ich jetzt herausgefunden habe doch die reelle und die komplexe Partialbruchzerlegung oder? Eigentlich ist doch dann die reelle und die komplexe PBZ immer gleich, wenn man eine quadratische Gleichung hat oder ? Also wenn der Nenner in der Form

x + (x^{2} + 2)

wäre ja z.B. die reelle und die komplexe PBZ unterschiedlich

ledum aktiv_icon

15:26 Uhr, 20.11.2018

Hallo
wenn der Nenner nur reelle Nullstellen hat unterscheiden sich reelle und komplexe Zerlegungen nicht, anders, wenn du im Nenner etwa

(x - 3) \cdot (x^{2} + 1)

hättest.
Gruß ledum

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