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Partialbruchzerlegung, Definitionsmenge

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Tags: Definitionsbereich, Partialbruchzerlegung

Lexiii92 aktiv_icon

13:04 Uhr, 28.04.2016

Hallo OnlineMathe!

Bestimmen Sie zu der nachstehenden rationalen Funktion

R : D \to ℂ

R (s) := \frac{2 s^{2} + 1}{s^{4} + s^{2}}

mit

(s \in D)

zunächst den maximalen Definitionsbereich

D \subseteq ℂ

und bestimmen Sie anschließend die Partialbruchzerlegung!

Wir befinden uns im komplexen somit sind komplexe Nullstellen erlaubt.

Um den maximalen Definitionsbereich zu bestimmen, müssen wir schauen wann der Nenner Null wird.

s^{2} \cdot (s^{2} + 1) = 0

s^{2} + 1 = 0

\Leftrightarrow s^{2} = - 1

somit erhalten wir

s_{1} = \sqrt{- 1} = j

und

s_{2} = - \sqrt{- 1} = - j

Der maximale Definitionsbereich müsste dann sein:

D = ℂ {0; - j; j}

Im reellen habe ich das Beispiel genommen:

\frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{1}{(x + 1) \cdot (x - 1)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1} = \frac{A \cdot (x - 1) + B \cdot (x + 1)}{(x + 1) \cdot (x - 1)}

Ausklammern:

\frac{A \cdot (x - 1) + B \cdot (x + 1)}{(x + 1) \cdot (x - 1)} = \frac{x \cdot (A + B) + B - A}{(x + 1) \cdot (x - 1)}

Koeffizientenvergleich:

I.

B - A = 1

II.

A + B = 0 \Rightarrow A = - B

in I.

2 B = 1 \Rightarrow B = \frac{1}{2}

und

A = - \frac{1}{2}

Also ist die PBZ:

\frac{1}{x^{2} - 1} = - \frac{1}{2 \cdot (x + 1)} + \frac{1}{2 \cdot (x - 1)}

Soweit klar.

Jetzt weiß ich bei dem ersten schon mal nicht wie ich den Zähler behandeln soll.

und wie ich das

s^{2}

aufspalten soll.

Etwa so:

\frac{2 s^{2} + 1}{s^{4} + s^{2}} = \frac{2 s^{2} + 1}{s^{2} \cdot (s + j) \cdot (s - j)}

Da ja

j^{2} = - 1

und entsprechend

- j^{2} = 1

Jetzt komme ich ein wenig ins Straucheln weil

z . B

. bei:

\frac{5 x^{2} + 2 x + 1}{x^{3} + x} = \frac{a_{1}}{x} + \frac{b_{1} x + c_{1}}{x^{2} + 1}

Also jede Nullstelle hat einen Koeffizienten, was passiert jetzt mit meinem

s^{2}

? Also mein Problem ist wie ich die doppelte Nullstelle

s^{2}

in die Addition zerlegen soll?

\frac{2 s^{2} + 1}{s^{4} + s^{2}} = \frac{A}{s} + \frac{B s + C}{s^{2} + 1}

oder wie?

Vielen Danks schon mal allen,

Grüße Lexi

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