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Partialbruchzerlegung Nenner aufteilen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Integration

Tags: Integration, Nenner, partialbruch, Partialbruchzerlegung, Zerlegen

Der-Doofe aktiv_icon

12:45 Uhr, 02.07.2018

Morgen,

ich versuche gerade (wiedereinmal) die Zerlegung bei der Partialbruchzerlegung in meinen Kopf zu bekommen. Es geht speziell um folgende Funktion:

\frac{2 x^{2} - 1}{x (x - 1)^{2}}

Die Nullstellen (des Nenners) sind relativ Klar:

x_{1} = 0

und

x_{2} = 1

wobei

x_{2}

eine Doppelte Nullstelle ist. Demzufolge würde ich den Nenner in

(x - 0)

und

(x - 1)^{2}

zerlegen (da man den Nenner soweit ich es verstanden habe in

N = (x - x_{1})^{r_{1}} \cdot (x - x_{2})^{r_{2}} \cdot . . . (x - x_{n})^{r_{n}}

zerlegt,

r_{x}

ist hier der Grad der Nullstelle und

x_{n}

die Nullstelle).

Somit hätte ich die Zerlegung

\frac{2 x^{2} - 1}{x (x - 1)^{2}} = \frac{A}{(x - 0)} + \frac{B}{(x - 1)^{2}}

Aus meinen Unterlagen weiß ich aber, dass folgende Zerlegung richtig ist:

\frac{2 x^{2} - 1}{x (x - 1)^{2}} = \frac{A}{(x - 0)} + \frac{B}{(x - 1)} + \frac{C}{(x - 1)^{2}}

Meine erste Frage ist nun, wo der mittlere Bruch herkommt?

Danke schonmal im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Der-Doofe aktiv_icon

13:08 Uhr, 02.07.2018

Okay, soweit ich es nun verstanden habe schreibt man den Term als Bruch in aufsteigendem Grad bis man denjenigen erreicht, der dem der Nullstelle entspricht.

Also wenn

r_{n} > 1

dann

\prod_{i = 1}^{r_{m a x}} (x - x_{n})^{i}

für den jeweiligen

(x - x_{n})^{r_{n}}

Term.

Atlantik aktiv_icon

14:12 Uhr, 02.07.2018

Schau mal hier:

http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm

mfG

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