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Partialbruchzerlegung doppelten Nullstelle

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Partialbruchzerlegung

Kroko123 aktiv_icon

18:23 Uhr, 26.01.2015

Hallo zusammen,

ich möchte eine Partialbruchzerlegung durchführen, leider macht mich die Tatsache etwas stutzig, dass ich eine Doppelte Nullstelle habe aber sonst keine.

Der Term ist:

\frac{4 s + 36}{{(s - 3)}^{2}}

Daraus ist natürlich

s 1,2 = 3

Also geht es los:

\frac{4 s + 36}{{(s - 3)}^{2}} = \frac{A}{{(s - 3)}^{2}} | \cdot {(s - 3)}^{2}

nach Kürzen steht da:

4 s + 36 = A

So was soll ich jetzt für

s

auswählen? Würde jetzt

s = 3

nehmen da Nullstelle, damit dann:

12 + 36 = A

A = 48

Ergebnis wäre dann:

\frac{48}{{(s - 3)}^{2}}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

pwmeyer aktiv_icon

18:28 Uhr, 26.01.2015

Hallo,

man muss Terme entsprechend der Ordnung der Nullstelle ansetzt, hier also:

\frac{A}{{(s - 3)}^{2}} + \frac{B}{s - 3}

Gruß pwm

ledum aktiv_icon

18:39 Uhr, 26.01.2015

Hallo
wenn du das zum Integrieren brauchst? dann besser

z = s - 3

und dann direkt integrieren.
Gruß ledum

Kroko123 aktiv_icon

18:41 Uhr, 26.01.2015

Ah stimmt natürlich.

dann habe ich:

\frac{4 s + 36}{{(s - 3)}^{2}} = \frac{A}{s - 3} + \frac{B}{{(s - 3)}^{2}}

4 s + 36 = A (s - 3) + B

Mit

s = 3 :

B = 48

aber wie geht es dann weiter?

PS: Nene integrieren muss ich da nichts, geht um eine Regelung.

Edddi aktiv_icon

18:50 Uhr, 26.01.2015

. .

. wo hast du

s = 3

her?

Du must einfach nur einen Koeffizientenvergeleich machen:

4 \cdot s + 36 = A \cdot (s - 3) + B

4 \cdot s + 36 = A \cdot s - 3 \cdot A + B

4 \cdot s + 36 = (A) \cdot s + (B - 3 \cdot A)

Damit muss

A = 4

und somit

(B - 3 \cdot A) = (B - 3 \cdot 4) = (B - 12) = 36

sein

Und aus

B - 12 = 36

ergibt sich dann

B = 48

Nun kannst du A und

B

in deinen Partialbruch

\frac{A}{s - 3} + \frac{B}{{(s - 3)}^{2}}

einsetzen.

;-)

Kroko123 aktiv_icon

19:15 Uhr, 26.01.2015

Danke.

Aber geht es auf meine Variante nicht?

Ich setze

s = 3

A (s - 3)

zu eliminieren. Wenn ich jetzt für

B (s - 5)

hätte würde das auch wunderbar funktionieren, leider so nicht, da ich für

B

kein

(s - 5)

habe, also

B

alleine steht.

Kroko123 aktiv_icon

19:20 Uhr, 26.01.2015

Ich glaube ich habs:

4 s + 36 = A (s - 3) + B

s = 4

setzen:

4 \cdot 4 + 36 = A (4 - 3) + B

52 = A + 48 | - 48

A = 4

ledum aktiv_icon

20:57 Uhr, 26.01.2015

Hallo
ja, da die gleichung für alle

s

stimmen muss kann man 2 veliebige einsetzen, dabei ist eine nullstelle nur rechentechnisch günstigrt. normalerweise macht man aber einen "Koeffizientenvergleich" die zahlen vor

x^{0}, x^{1}

(auch

x^{2}

usw) also die Koeffizienten müssen gleich sein.
Bei dir : Koeffizient von

s

ist auf der einen Seite 4 auf der anderen A also

A = 4

Koeffizient von

x^{0}

ist

36

links,

- 3 A + B

rechts also

36 = - 3 A + B

meist ist das verfahren einfacher als Zahlen für

s

einzusetzen
Gruß ledum

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