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Partialbruchzerlegung mit cos sin und exp mode

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Tags: Partialbruchzerlegung, Regelungstechnik

benaddict aktiv_icon

04:00 Uhr, 12.01.2020

Hallo zusammen.
Ich hocke hier gerade vor einer alten Klausuraufgabe (Regelungstechnik) zu der ich auch die Lösung habe, kann diese jedoch leider nicht nachvollziehen.

Der Teil der Aufgabe den ich nicht nachvollziehen kann ist folgender:

Man muss eine Partialbruchzerlegung für

\frac{30}{(s^{2} + 2 s + 10) (s + 2)} = \frac{30}{((s + 1)^{2} + 3^{2}) (s + 2)}

durchführen. Der erste Rechenschritt wird so angegeben:

\frac{30}{((s + 1)^{2} + 3^{2}) (s + 2)} = \frac{(s + 1) A}{((s + 1)^{2} + 3^{2})} + \frac{3 B}{((s + 1)^{2} + 3^{2})} + \frac{C}{s + 2}

(x).
Und zwar wird das so dargestellt "für die Struktur", laut einer angefügten Notiz (cos, sin und exp mode, aber das ist nicht meine Frage).
Meine Frage ist welche Umformungen wurden hier vorgenommen?

Ich würde die Partialbruchzerlegung nämlich so beginnen:

\frac{30}{((s + 1)^{2} + 3^{2}) (s + 2)} = \frac{A}{((s + 1) + 3)} + \frac{B}{((s + 1)^{2} + 3^{2})} + \frac{C}{s + 2}

(y) und ich verstehe ich nicht wie man von (y) zu (x) kommen kann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

09:18 Uhr, 12.01.2020

Hallo
Das sind einfach gute Erfahrungswerte, die man in entsprechenden Lehrbüchern, Skripten und Kapiteln nachlesen kann.

Stell dir vor, jemand schriebe:
"In meinem Buch steht: Geschwindigkeit

v = \frac{s}{t}

Welche Umformung wurde hier vorgenommen?
Ich hätte nämlich so begonnen:

v =

s/Mondphase"
Was würdest du antworten?

Ich würde empfehlen:
Probier mal beides aus. Vielleicht siehst du dann: Das eine führt ans Ziel, das andere höchst wahrscheinlich nicht.

Auch die Tatsache, dass der Term in deinem Ansatz

\frac{A}{(s + 1) + 3} = \frac{A}{s + 4}

vermutlich keine Nullstelle des Nenners ist, sollte dich nachdenklich machen...

pwmeyer aktiv_icon

10:12 Uhr, 12.01.2020

Hallo,

ich würde doch etwas schärfer als 11engleich nicht von Erfahrungswerten sprechen, sondern von Regeln für die Partialbruchzerlegung, die nachweislich zum Erfolg führen. Diese 3 oder 4 Regeln musst Du nachschlagen.

Dabei ist zu unterscheiden, ob der Nenner Linearfaktoren enthält - also Terme der Form

{(s + a)}^{n} -

oder auch quadratische Faktoren

- s^{2} + b \cdot s + c - o h n e

reelle Nullstellen.

Der in der Deiner Lösung verwendete Ansatz ist dann eine Modifikation des Standardansatzes im Hinblick auf die Laplace-Rücktransformation.

Gruß pwm

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