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Partialbruchzerlegung mit doppelter Nullstelle

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Partialbruchzerlegung

darkknight187

11:34 Uhr, 26.08.2010

Folgende Aufgabe:

$\int \frac{3 z}{z^{3} + 3 z^{2} - 4} d z$
für den nenner hab ich die Nullstelle $z = 1$ und die doppelte Nullstelle $z = - 2$ raus.

Wie muss ich denn jetzt meine Annahme wählen damit ich auf ein gescheites Ergebnis komme?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

11:54 Uhr, 26.08.2010

Hallo,

bei doppelter Nullstelle macht man folgenden Ansatz:

$\frac{3 z}{z^{3} + 3 z^{2} - 4} = \frac{A}{z - 1} + \frac{B}{z + 2} + \frac{C}{{(z + 2)}^{2}}$

Viele Grüße

Yokozuna

darkknight187

12:04 Uhr, 26.08.2010

Daraus folgt doch diese Gleichung:
$3 z = A (z + 2) {(z + 2)}^{2} + B (z - 1) {(z + 2)}^{2} + C (z - 1) (z + 2)$

da kann ich doch nicht $z = - 2$ eingeben...
wie mache ich denn das?

Shipwater aktiv_icon

12:13 Uhr, 26.08.2010

$z^{3} + 3 z^{2} - 4 = {(z + 2)}^{2} (z - 1)$
Nach der Multiplikation hast du also:
$3 z = A {(z + 2)}^{2} + B (z + 2) (z - 1) + C (z - 1)$

darkknight187

12:22 Uhr, 26.08.2010

Ahh jetzt seh ichs....
Vielen Dank.

darkknight187

16:35 Uhr, 26.08.2010

Ich muss doch noch mal Nachfragen:
Mit welchen X-Werten muss ich die Gleichung denn jetzt Verwenden?
Nur für $z = - 2$ und $z = 1$ ?
Dann komme ich ja nicht an den B-Wert.

Shipwater aktiv_icon

16:37 Uhr, 26.08.2010

Ich hab die Frage leider nicht verstanden. Scheiterst du am Koeffizientenvergleich?

darkknight187

16:41 Uhr, 26.08.2010

Achso, ich dachte ich muss die Nullstellen des Nennerpolynoms in die Gleichung eingeben.

Shipwater aktiv_icon

16:42 Uhr, 26.08.2010

Nicht dass ich wüsste.

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