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Partialbruchzerlegung mit doppelter Nullstelle

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Maguro aktiv_icon

00:52 Uhr, 21.02.2014

Hallo Leute,

ich komme bei folgendem Problem nicht weiter.

Ich suche eine Partialbruchzerlegung für folgende Funktion um diese dann mit der inversen Laplace-Transformation in den Zeitbereich zu transformieren:

G (s) = \frac{2}{s^{2} \cdot (1 + s \cdot τ)}

Dabei ergibt sich eine doppelte NS des Nenners bei

s_{1,2} = 0,

außerdem noch die NS bei

s_{3} = - \frac{1}{τ}

Ich verstehe nicht ganz wie dabei meine Ansatz für den Partialbruch ist für die doppelte NS bei

s = 0

.

Wäre cool wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.
Vielen Dank im Voraus!

Matze2021 aktiv_icon

01:04 Uhr, 21.02.2014

Gib mal bei youtube den Suchbegriff Partialbruchzerlegung ein. Dort findest Du dann Videos zum Thema von Prof. Jörn Loviscach. Die finde ich immer sehr erhellend.

Über Partialbruchzerlegung habe ich schon einige Videos von ihm gesehen - aber leider alles wieder vergessen. Das ist nämlich immer der Nachteil, wenn man so vorgeht. Es bleibt einfach nicht im Gedächtnis :-)

Gruß Matze

Loewe1

06:56 Uhr, 21.02.2014

Hallo,

damit Du nicht solange suchen mußt, hier der Ansatz:

\frac{2}{s^{2} (1 + s τ)}

= \frac{A}{s} + \frac{B}{s^{2}} + \frac{C}{1 + s τ}

Weil es eine doppelte Nullstelle ist , wird deswegen

s^{2}

geschrieben .
Das hängt immer vom Grad der Nullstelle ab.

Also

z . B

. für den Ausdruck

\frac{1}{s^{3}}

würde stehen:

\frac{A}{s^{3}} + \frac{B}{s^{2}} + \frac{C}{s}

Jetzt muß Du noch einen Koeffizientenvergleich durchführen , dann kannst Du
das Ganze in den Zeitbereich transferieren.
:-)

Maguro aktiv_icon

12:00 Uhr, 21.02.2014

Ok, vielen Dank schonmal.

Der Tip mit Herrn Loviscach war auch gut, von ihm habe ich mir auch schon einige hilfreiche Videos angeschaut :-)

Vielen Dank Loewe, ich rechne damit jetzt schon über einige DinA4-Seiten und komme irgendwie nicht auf die Koeffizienten.

Könnte man da eventuell eine Regel anwenden die diesen Bruch vereinfacht?
Vieleicht eine Laplace-Regel? Eventuell das Faltungs-Integral?

Loewe1

12:09 Uhr, 21.02.2014

Hallo,

Du kannst mittels Koeffizientenvergleich das Ganze berechnen.
Das bedeutet, Du muß auf beiden Seiten mit dem Hauptnenner multiplizieren, dann ausmultiplizieren und die Koeffizienten der rechten und linken Seite
miteinander vergleichen. Dann kannst Du anhand von Tabellen das Ganze transferieren

Ich habe folgende Koeffizienten erhalten:

A = - 2 τ

B = 2

C = 2 τ^{2}

Maguro aktiv_icon

12:37 Uhr, 21.02.2014

Ok, habs rausbekommen, vielen Dank!

Der Koeffizientenvergleich ist schon stark,
so spart man sich die aufwendige Faltung...

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