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Partialbruchzerlegung und Binomialkoeff. Identität

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient

 
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RM777

RM777 aktiv_icon

19:50 Uhr, 14.03.2019

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Guten Abend, Ich habe Probleme mit der Aufgabe 8 in Analysis 1 Kapitel 4 von Konrad Königsberger.

Ich soll zeigen, dass n!z(z+1)..(z+n)=k=0nnk(-1)kz+k gilt. In den Lösungen steht:

Die Polstellen sind 0,-1,..-n. Da diese einfach sind, hat die Partialbruchzerlegung die Bauart k=0na/(z+k). Für die ak erhält man mit (9)* die angegebenen Werte.

Mit 9* meint er, dass ak=n!/k...(k+(k-1))(k+(k+1))...(k+n) gilt.

Ich weiß jetzt aber nicht wie man zeigen kann

n!/k...(k+(k-1))(k+(k+1))...(k+n)z+k=nk(-1)kz+k.

Beziehungsweise

nk(-1)k=n!k...(k+(k-1))(k+(k+1))...(k+n)1(-1)kn!(n-k)!k!=n!k...(k+(k-1))(k+(k+1))..(k+n)(n-k)!k!(-1)k

=k...(k+(k-1))(k+(k+1))..(k+n)

Alles was nach der zitierten Lösung kam ist von mir deshalb ist es möglicherweise falsch. Kann mir jemand bitte helfen wie ich weiter machen muss mit der Umformung?




Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

21:05 Uhr, 14.03.2019

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Ich würde anders rangehen: Sei fn(z):=n!z(z+1)(z+n).

Die Behauptung fn(z)=k=0nnk(-1)kz+k wird nun per Vollständiger Induktion bewiesen:

Anfang n=0 ist trivial.

Induktionsschritt nn+1:

fn+1(z)=fn(z)-fn(z+1)=IVk=0nnk(-1)kz+k-k=0nnk(-1)kz+1+k=k=0nnk(-1)kz+k+k=1n+1nk-1(-1)kz+k
=n0(-1)0z+0+k=1n(nk+nk-1)(-1)kz+k+nn(-1)n+1z+n+1=k=0n+1n+1k(-1)kz+k .

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Bei deinem Weg über die Partialbruchzerlegung sind dir gravierende Vorzeichenfehler unterlaufen, in praktisch JEDEM Faktor im Nenner: Es wird ja bei

n!(z+k)z(z+1)(z+n)=j=0naj(z+k)z+j

der Grenzwert z-k betrachtet, das Ergebnis ist

n!(-k)(-k+1)(-k+(k-1))(-k+(k+1))(-k+n)=ak

also überall (-k+) statt deines (k+). Weiter umgeformt ergibt sich

n!(-1)kk!(-k+(k+1))(-k+n)=ak

n!(-1)kk!(n-k)!=ak

(-1)knk=ak.

Frage beantwortet
RM777

RM777 aktiv_icon

15:04 Uhr, 16.03.2019

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Dankeschön, ich muss echt aufpassen mit den Vorzeichen