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Partialsumme

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen: Partialsumme

Monika-98 aktiv_icon

23:29 Uhr, 15.11.2022

Kann mir bitte jemand den Lösungsweg dieser Aufgabe angeben.
Zu berechnen ist die Partialsumme der folgenden Reihe: Summe von

j = 1

bis unendlich für

\frac{(\frac{π}{2}) \cdot (j \cdot (j + 1) - 1)}{(j + 1)!}

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Roman-22

00:15 Uhr, 16.11.2022

Gehts wirklich um die Partialsummen

\sum_{j = 1}^{n} . .

= \frac{π}{2} \cdot (2 - \frac{n + 2}{(n + 1)!})

oder nicht vielleicht doch um

\sum_{j = 1}^{\infty} . .

= π

?

Darfst du

\sum_{j = 0}^{\infty} \frac{1}{j!} = e

voraussetzen?

Monika-98 aktiv_icon

00:21 Uhr, 16.11.2022

Zudem ist nach der Konvergenz der Reihe mithilfe der ausgerechneten Partialsumme gefragt worden.

Nein, dies ist nicht vorausgesetzt.

HAL9000

07:22 Uhr, 16.11.2022

> Darfst du

\sum_{j = 0}^{\infty} \frac{1}{j!} = e

voraussetzen?

Wozu sollte man das angesichts der hier vorliegenden Teleskopsumme brauchen?

Monika-98 aktiv_icon

00:12 Uhr, 17.11.2022

Kannst du mir sagen wie du genau auf die Partialsumme gekommen bist.

HAL9000

00:20 Uhr, 17.11.2022

Es gilt

(j + 1)! = (j + 1) \cdot j! = (j + 1) j \cdot (j - 1)!

für alle

j \geq 1

, damit folgt durch entsprechendes Kürzen

\sum_{j = 1}^{n} \frac{j (j + 1) - 1}{(j + 1)!} = \sum_{j = 1}^{n} [\frac{j (j + 1)}{(j + 1)!} - \frac{1}{(j + 1)!}] = \sum_{j = 1}^{n} [\frac{1}{(j - 1)!} - \frac{1}{(j + 1)!}] = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} - \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n + 1)!}

das ist eine sogenannte Teleskopsumme. Falls dir der letzte Schritt nicht klar ist, schreibe die Summe im vorletzten Term ausführlich aus und beobachte, wie sich die meisten Terme durch Differenzbildung gegenseitig aufheben. Übrig bleiben nur zwei Summanden vorn und zwei (mit negativem Vorzeichen) hinten.

Monika-98 aktiv_icon

00:33 Uhr, 17.11.2022

Aber das ist doch nicht das gleiche Ergebnis wie vorher oder.

Da kommt

2 - \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n + 1)!}

raus

HAL9000

00:37 Uhr, 17.11.2022

> Aber das ist doch nicht das gleiche Ergebnis wie vorher oder.

"Oder" ist richtig:

\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} = 1 + 1 = 2

sowie

\frac{1}{n!} + \frac{1}{(n + 1)!} = \frac{n + 1}{(n + 1)!} + \frac{1}{(n + 1)!} = \frac{n + 2}{(n + 1)!}

.

Aber ist das Zusammenfassen dieser beiden Fakultätsbrüche wirklich nötig? Der Grenzwert für

n \to \infty

ist ohne diese Zusammenfassung fast noch besser zu sehen.

P.S.: Solche Minischritte darf man sich als selbständige Studentin auch gern mal selbst überlegen...

Monika-98 aktiv_icon

00:53 Uhr, 17.11.2022

Vielen Dank!

Auch ich habe es nun verstanden :-)

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