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Partialsumme als Teleskopsumme darstellen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Fibonacci, Folgen und Reihen, Partialbruchzerlegung, Teleskopsumme

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13:25 Uhr, 04.06.2014

Für die Uni müssen wir folgende Aufgabe lösen:

Mit der Partialbruchzerlegung an sich habe ich kein großes Problem, jedoch komme ich auch nach mehreren Ansätzen nicht auf eine passende Teleskopsumme...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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13:29 Uhr, 04.06.2014

PS: Aufgabenteil

b)

habe ich schon gelöst, nur

a)

bereitet noch Probleme

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13:33 Uhr, 04.06.2014

Gemeint ist derselbe Trick wie dieser hier:

\frac{1}{(n + 1) n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

.
Nutze dabei die Schreibweise

f_{k + 2} - f_{k} = f_{k + 1}

.
Das Ergebnis ist

a_{k} = \frac{1}{f_{k} f_{k + 1}}

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12:03 Uhr, 05.06.2014

Erstmal danke für die Antwort! Das Endergebnis sehe ich ein, die Schreibweise

f_{k + 2} - f_{k} = f_{k} + 1 .

geht, so nehme ich an, aus der Definition der Fibonacci-Folge hervor.
Mir erschließt sich bloß immer noch nicht wie der von dir genannte Trick auf

\frac{1}{f_{k} f_{k + 2}}

anzuwenden ist...

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12:06 Uhr, 05.06.2014

\frac{1}{f_{k}} - \frac{1}{f_{k + 2}} = \frac{f_{k + 2} - f_{k}}{f_{k} f_{k + 2}} = \frac{f_{k + 1}}{f_{k} f_{k + 2}} = > \frac{1}{f_{k} f_{k + 1}} - \frac{1}{f_{k + 1} f_{k + 2}} = \frac{1}{f_{k} f_{k + 2}}

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12:22 Uhr, 05.06.2014

Ok, aber wie komme ich jetzt von

\frac{f_{k + 1}}{f_{k} f_{k + 2}}

auf

\frac{1}{f_{k} f_{k + 1}}

\frac{1}{f_{k + 1} f_{k + 2}}

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12:37 Uhr, 05.06.2014

Du dividierst beide Seiten der linken Gleichung durch

f_{k + 1}

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12:40 Uhr, 05.06.2014

Es ist mir doch noch nicht ganz klar, warum

\frac{1}{n (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

auch für

\frac{1}{f_{k} f_{k + 2}}

gilt, da bei letzerem erstens die

k + 2

im Index stehen und zweitens es

k + 2

nicht

k + 1

ist.

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13:59 Uhr, 05.06.2014

Es ist egal, was für Index wo steht. Ich meinte nur die Idee, nicht die Formel.

Dass die Formel

\frac{1}{f_{k}} - \frac{1}{f_{k + 2}} = \frac{f_{k + 2} - f_{k}}{f_{k} f_{k + 2}}

stimmt, prüft man direkt. Sie ist nur ein besonderer Fall der Formel

\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b - a}{a b}

, welche auch den Namen Formel nicht verdient, es ist ja nur die Differenz von zwei Brüchen.

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