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Partialsummen berechnen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Partialsumme

letizia1234 aktiv_icon

00:01 Uhr, 20.09.2015

Guten Abend

=)

Wie berechne ich Partialsummen nochmal?

zB.

Partialsumme von diesen Zahlen

1, 2, 3, 4, 5,

1 + 2 = 3

3 + 3 = 6

6 + 4 = 10

10 + 5 = 15

so ging das doch oder ?

die Frage lautete berechnen Sie die ersten

10

Partialsummen der arithmetischen Reihe für

a 1 = 0 d = 1

bzw

a 1 = 1 d = 2

wie rechne ich das, das

d

verwirrt mich irgendwie, weiß garnicht was das ist

Vielen Dank :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Stephan4

00:56 Uhr, 20.09.2015

Summenformel:

Anzahl der Glieder multipliziert mit dem arithmetischen Mittel des ersten und des letzten Gliedes.
Also

5 \cdot \frac{1 + 5}{2}

Geheimtipp:
de.wikipedia.org/wiki/Arithmetische_Reihe#Allgemeine_Summenformel

:-)

letizia1234 aktiv_icon

00:59 Uhr, 20.09.2015

und für was steht das

d

pivot aktiv_icon

01:17 Uhr, 20.09.2015

Hallo,

O.K. du berechnest die Summe sukkzessiv. Im Prinzip addierst wie gewöhnlich. Ich habe jetzt eine längere Herleitung geschrieben. Wenn du nur an der Formel interessiert bist dann lese erst ab dem Trennungsstrich.

Du kannst aber

(1 + 2 + 3 + 4 + 5)

auch um ordnen zu

(1 + 5) + (2 + 4) + 3 = 6 + 6 + 3

d ist hier 1, da die Abstände zwischen den Summanden 1 ist.

Du hast 5 Summanden. Bezeichnen wird mal die Anzahl der Summanden als

n

. Dann ist n=5 und somit

6 = n + 1

Also ist

6 + 6 + 3 = (n + 1) + (n + 1) + \frac{n + 1}{2}

. Die ersten beiden Summanden mit 2 erweitern.

\frac{2 (n + 1)}{2} + \frac{2 (n + 1)}{2} + \frac{n + 1}{2} = \frac{2 n + 2 + 2 n + 2 + n + 1}{2} = \frac{5 n + 5}{2}

5 ausklammern:

\frac{5 (n + 1)}{2}

Da n=5 ist, kann man jetzt auch allgemein schreiben

\frac{n (n + 1)}{2}

Somit ist die Formel für die Partialsumme der arithmethischen Reihe, mit

d = 1

, bis zum n-ten Glied gleich

\frac{n (n + 1)}{2}

. Diese Formel wird auch die Gaußsche Summenformel gennannt.

Es ist z.B.

1 + 2 + . . . + 99 + 100 = \frac{100 \cdot (100 + 1)}{2} = \frac{100 \cdot 101}{2} = 50 \cdot 101 = 5050

___________________________________________________________________________________

Für ein allgemeines

d

ist die Formel der Partialsumme

(n + 1) \cdot \frac{a_{0} + a_{n}}{2}

a_{0}

ist der erste Summand und

a_{n}

ist der letzte Summand.

n

ist die Anzahl der Summanden.

Somit ist

2 + . . . + 18 + 20 = 0 + 2 + . . . + 18 + 20 = 11 \cdot \frac{0 + 20}{2} = 110

Oder

1 + 4 + 7 + . . . + 37 + 40 = 14 \cdot \frac{1 + 40}{2} = 7 \cdot 41 = 280 + 7 = 287

Grüße,

Pivot.

letizia1234 aktiv_icon

11:39 Uhr, 20.09.2015

Hallo
Vielen Dank :-)

Das verstehe ich trotzdem kann ich mein Beispiel nicht lösen

Berechnen sie die ersten

10

Partialsummen der arithmetischen Reihe für

a 1 = 0 d = 1

nach der Formel würde ich dann

\frac{10 (11)}{2} = 55

in der Lösung steht aber die Formel

\frac{n \cdot (n - 1)}{2}

nicht plus

1 . .

?

und die zweite Aufgabe ist die ersten

10

Partialsummen zu berechnen für

a 1 = 1 d = 2

ok wenn

d

der Abstand ist dann sieht es wohl so aus

1,3,5,

ABER In der Lösung steht sn = n²

= (1,4,9, ... .)

warum ?

Herzlichen Dank

Roman-22

19:38 Uhr, 20.09.2015

Wenn das erste Glied deiner Arithmetischen Folge

a_{1} = 0

ist und die konstante Differenz

d = 1

betragen soll, wie groß sind dann deiner Meinung nach die Glieder

a_{2}, a_{3}

und letztlich dann

a_{10}

?

Mögliche Formeln für die n-te Partialsumme einer Arithmetischen Reihe, bei der die Glieder beginnend mit Index 1 nummeriert werden, ist

s_{n} = (a_{1} + a_{n}) \cdot \frac{n}{2} = (2 \cdot a_{1} + (n - 1) \cdot d) \cdot \frac{n}{2}

Sei die unendliche Arithmitische Folge

< a_{n} > = < 1; 3; 5; 7; ... >

Dann ist die zugehörige Arithmetische Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = 1 + 3 + 5 + 7 + . .

.
Ihre erste Teilsumme (Partialsumme)

s_{1} = 1

Ihre zweite Partialsumme

s_{2} = 1 + 3 = 4

Ihre dritte Partialsumme

s_{3} = 1 + 3 + 5 = 9

Ihre vierte Partialsumme

s_{4} = 1 + 3 + 5 + 7 = 16

. .

.
Ihre n-te Partialsumme

s_{n} = ... . = n^{2}

Verwende die Formel von oben und setze ein!

Die Folge der Partialsummen ist

< s_{n} > = < 1; 4; 9; 16; ... . >

R

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