Partielle Ableitung

Hallo,

ich habe ein Problem beim partiellen ableiten des arctan.

Folgende Funktion soll nach x abgeleitet werden:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{arctan<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}$

Ich weiß vom integrieren, dass ${\displaystyle \int \frac{1}{{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{arctan<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)+\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Okay da vor ${\displaystyle \mathrm{arctan<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}$ ja quasi nichts steht ist mein 1/a = 1, also muss x/y dann das x sein. Nun muss ich nur noch die Ableitung von als Faktor davor ziehen also 1/y, so dass das

Ergebniss :${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{1}{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \left(\frac{1}{1+(\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{)}^2}\right)}$

Nun sollen wir die Funktion auch nach y ableiten dort müsste ich dann als Ergebnis wenn ich so wie oben vorgehe ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=-\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}\cdot \left(\frac{1}{1+(\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{)}^2}\right)}$ erhalten.

Was integriert ${\displaystyle -\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{tan<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\frac{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}$ gibt.

Wo ist der Fehler bei der Ableitung nach y?

Wäre sehr freundlich wenn mir jemand behilflich sein kann!

Erstmal danke für die Antwort.

Mich verwirrt dwenn ich ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=-\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}\left(\frac{1}{1+(\frac{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{)}^2}\right)}$ integriere, ich -arctan(y/x) erhalten was ja nicht dasselbe wie arctan(x/y) ist.

Sollte dort nicht dasselbe rauskommen?

Glaub nun hab ichs verstanden.

Die Konstante müsste dann das x sein bei der Ableitung nach y.

Vielen lieben Dank!