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Partielle Ableitung nach Phi bestimmen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Kugelkoordinaten

anonymous

20:08 Uhr, 21.12.2018

Hallo alle zusammen,

in der (Physik-)Vorlesung hatten wir, dass

\frac{\partial}{\partial ϕ} = - y \frac{\partial}{\partial x} + x \frac{\partial}{\partial y}

.

(Die Transformationsformeln in Kugelkoordinaten lauten ja

x = r \sin (ϑ) \cos (ϕ)

y = r \sin (ϑ) \sin (ϕ)

z = r \cos (ϑ)

.)

Wir haben dazu Folgendes gesagt:

\frac{\partial}{\partial ϕ} = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial ϕ} + \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial ϕ} + \frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial ϕ}

Ähm, also wie folgt das aus der Kettenregel (dies haben wir so in der Vorlesung gesagt).
Und kann man das noch anders, vielleicht mathematisch sauberer beweisen?

Gruß
Imahn

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

12:03 Uhr, 22.12.2018

Hallo,

sagen wir, Du hast eine Funktion

f : ℝ^{3} \to ℝ,

dazu definierst Du

h : ℝ_{> 0} \times (0, π) \times (0,2 \cdot π) \to ℝ

mit

h (r, θ, φ) := f (r \cdot sin (θ) \cdot cos (φ), r \cdot sin (θ) \cdot sin (φ), r \cdot cos (θ))

Dann berechnest Du

\frac{\partial h}{\partial φ}

nach der Kettenregel.

Es ist weit verbreitet, für

h

ebenfalls das Symbol

f

zu nehmen, weil es ja aus der Sicht der Anwendung dasselbe technische Objekt bezeichnet, nur auf andere Koordinaten bezogen.

Gruß pwm

godzilla12 aktiv_icon

12:30 Uhr, 22.12.2018

\frac{\partial}{\partial (φ)} = \frac{\partial}{\partial (x)} \frac{\partial (x)}{\partial (φ)} + \frac{\partial}{\partial (y)} \frac{\partial (y)}{\partial (φ)} + \frac{\partial}{\partial (z)} \frac{\partial (z)}{\partial (φ)} (1)

(1)

ist also schonmal der Ausgangspunkt unserer Überlegungen; und da siehst du, dass wir uns für die Elemente der

\to

Jacobimartrix

J (

mit

φ)

intressieren. Ich schreibe nochmal deine Transformation ab

x = r sin (θ) cos (φ) (2 a)

y = r sin (θ) sin (φ) (2 b)

z = r cos (θ) (2 c)

Jetzt leiten wir

(2 a - c)

ab nach

φ

(2 a) \to \frac{\partial (x)}{\partial (φ)} = - r sin (θ) sin (φ) (3 a)

= - y (3 b)

und zwar

(3 b)

wegen

(2 b)

Analog findest du

\frac{\partial (y)}{\partial (φ)} = x (3 c)

\frac{\partial (z)}{\partial (φ)} = 0 (3 d)

Wenn du

(3 a - d) \in (1)

einsetzt, solltest du auf die Behauptung geführt werden.

anonymous

16:31 Uhr, 23.12.2018

Hi pwmeyer, hi godzilla,

ich hake nach. ;-)

,,Dann berechnest Du

\frac{\partial h}{\partial φ}

nach der Kettenregel."

>

Mache ich das dann so, wie es auf Wikipedia unter dem Abschnitt ,,Satz" gemacht wird (also die letzte Formel mit der Summe):

de.wikipedia.org/wiki/Mehrdimensionale_Kettenregel

Also ich hatte mir das gestern Abend auf Wikipedia angeschaut und leider noch nicht so ganz hinbekommen, ich glaube, ich war zu sehr mit den Funktionenbezeichnungen verwirrt ...

Gruß
Imahn

godzilla12 aktiv_icon

16:59 Uhr, 23.12.2018

Wenn du bei meinem

(1.1)

schon keinen Durchblicker mehr haben solltest. Kann ich das totale Differenzial einer ( beliebigen ) Funktion

f

voraus setzen?

= \frac{\partial (f)}{\partial (x)} \cdot d x + \frac{\partial (f)}{\partial (y)} \cdot d y + \frac{\partial (f)}{\partial (z)} \cdot d z (2.1 a)

( Schon verboten, was du alles für Verrenkungen machen musst, um

(2.1 a)

zu notieren. ) Und aus

(2.1 a)

folgt eben

\frac{\partial (f)}{\partial (φ)} = \frac{\partial (f)}{\partial (x)} \frac{\partial (x)}{\partial (φ)} + \frac{\partial (f)}{\partial (y)} \frac{\partial (y)}{\partial (φ)} + \frac{\partial (f)}{\partial (z)} \frac{\partial (z)}{\partial (φ)} (2.1 b)

Die abstrakte

\to

Differenzialgeometrie nimmt übrigens genau den Standpunkt ein: Da ja (

2.1 b)

erfüllt ist für beliebige Funktionen

f,

kann ich her gehen und einen abstrakten Gradienteniperator

\frac{\partial}{\partial (φ)}

einführen über Identität

(1.1)

pwmeyer aktiv_icon

18:22 Uhr, 23.12.2018

Hallo,

ja, der Wikipdia-Artikel ist der passende.

Gruß pwm

anonymous

23:29 Uhr, 23.12.2018

Hallo godzilla, hallo pwmeyer.

,,Wenn du bei meinem (1.1) schon keinen Durchblicker mehr haben solltest. Kann ich das totale Differenzial einer ( beliebigen ) Funktion f voraus setzen"?

>

Genau das ist mein Problem, godzilla: Ich hatte schon bei deiner Gleichung

(1)

Probleme, die du vorausgestzt hattest. ;-)

Also mit dem totalen Differenzial bin ich angefreundet, aber mir ist leider noch nicht klar,
wie aus dem totalen Differenzial ein ,,partielles Differenzial" werden soll, denn ich es im Internet nichts gefunden (also ich habe explizit nach partiellem Differenzial gestartpaget, aber nichts gefunden).

,,ja, der Wikipdia-Artikel ist der passende."

>

Ich weiß nicht, ob ihr Lust haben werdet, mir am Heiligabend zu antworten, aber ich probiere es noch einmal morgen und ich schreibe euch, vielleicht habt ihr ja irgendwann ein paar Minütchen, euch zurückzumelden, vielleicht auch nicht ...

Gruß
Imahn

godzilla12 aktiv_icon

01:16 Uhr, 24.12.2018

Hazard; du fragstdich, wie bei dem Schritt von

(2.1 a)

nach

(2.1 b)

aus den " geraden

d' s

" auf einmal " runde

\partial' s

" werden. Es ist quasi nichts weiter als eine Konvention. Welche Ableitung meinen wir denn; was wird fest gehalten, und was wird variiert?

f

ändert sich um df , wobei

r

und

θ

gleichzeitig FEST GEHALTEN werden und nur

φ

sich ändert. Genau das meinst du bzw. meint dein Prof.
Und immer, wenn mehrere Koordinaten in Konkurrenz zueinander stehen, pflegt man runde

\partial' s

zu schreiben; gerade

d' s

gibt es nur, wenn eine Funktion

f

EINDEUTIG von der Variablen

z . B

x

abhängt ( und nicht von dreien wie hier. )

anonymous

11:29 Uhr, 24.12.2018

Hallo pwmeyer, hallo godzilla.

So, ich schreibe euch jetzt mal meine Gedanken zum Thema Kettenregel auf.
Ich weiche ein bisschen ab von der Notation von Wikipedia und halte mich an deine Notation vom ersten Post, pwmeyer.

Also gegeben ist eine Funktion

f : ℝ^{3} \to ℝ

. Die Funktion

g : ℝ^{3} \to ℝ^{3}, (x, y, z) \mapsto (. . ., . . ., . . .)

beschreibt gerade die Transformation auf die Kugelkoordinaten, ausgehend von den kartesischen Koordinaten.

Nun definieren wir uns eine Funktion

h := f \circ g, ℝ^{3} \to ℝ

.
Laut Kettenregel ergibt sich dann (ich möchte jetzt beispielsweise nur nach

φ

ableiten):

\frac{\partial h_{i}}{\partial φ} = \sum_{k = 1}^{3} \frac{\partial f_{i}}{\partial y_{k}} \cdot \frac{\partial g_{k}}{\partial φ}

(ich hoffe, dass das richtig ist ...)

\Rightarrow \frac{\partial h}{\partial φ} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial g_{1}}{\partial φ} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial g_{2}}{\partial φ} + \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \frac{\partial g_{3}}{\partial φ}

g_{1}

g_{2}

und

g_{3}

sind bekannt (Transformation auf Kugeloordinaten), also sind die partiellen Ableitungen nach

φ

bekannt. Nun hattest du ja, pwmeyer, schon angekündigt, dass man wohl ein bisschen flexibler mit den Bezeichnungen

f

und

h

ist und somit habe ich es jetzt, denke ich.

Vielen Dank für eure Geduld und eure Antworten!!

Gruß
Imahn

godzilla12 aktiv_icon

14:34 Uhr, 24.12.2018

Nach meinem Gefühl ist das nicht richtig; ich wehre mich auch dagegen, es handle sich um die " n_dimensionale Kettenregel " Auch wenn das so in Wiki stehen sollte. Nuir mal um das klar zu kriegen; stell dir zwei Koordinatentransformationen vor

y_{k} = y_{k} (x_{i}); i, k = 1, . .

, n (3.1 a)

Z . B

y_{k} = (r, θ, φ); x_{i} = (x, y, z)

Und dann noch eine zweite

x_{i} = x_{i} (ξ_{m}) (3.1 b)

Die n_dimensionale Kettenregel ist dann eine Aussage über zwei

\to

Jacobimatrizen

\frac{\partial (y_{1}, ..., y_{n})}{\partial (ξ_{1}, ..., ξ_{n})} = \frac{\partial (y_{1}, ..., y_{n})}{\partial (x_{1}, ..., x_{n})} \cdot \frac{\partial (x_{1}, ..., x_{n})}{\partial (ξ_{1}, ..., ξ_{n})} (3.2)

siehe " Kuhrand " ( courant / Hilbert; Bd.

2) d . h

. diese Kettenregel setzt DREI Koordinatensysteme voraus und nicht zwei, wie du hast.

" Die Matrix von

y

nach

ξ

ergibt sich als Matmul von

y

nach

x

Mal

x

nach

ξ

. "

Sowas hast du aber gar nicht; und es kommt auch nur höchst selten vor. Dein Fall lässt sich wirklich verstehen mit dem totalen differenzial; im folgenden schreibe ich abkürzend

x_{i}

statt

x, y, z

und nutze den Vorteil der

\to

einsteinschen Indexkonvention. Dann lautet das totale Differenzial ( Leider hast du deine Gleichungen nicht nummeriert )

= \frac{\partial (f)}{\partial (x_{i})} {d x}_{i} (3.3 a)

Da ja

f

als total differenzierbar voraus gesetzt war, darf der Vektor der

x_{i}

in jede beliebige Richtung zeigen; wir wählen die Richtung, in welcher

r

und

θ

konstant bleiben. Dann hast du weiter nix zu tun, als

(3.3 a)

durch

d φ

zu dividieren:

\frac{\partial (f)}{\partial (φ)} = \frac{\partial (f)}{\partial (x_{i})} \frac{\partial (x_{i})}{\partial (φ)} (3.3 b)

anonymous

12:42 Uhr, 26.12.2018

Hallo godzilla,

ich habe erst jetzt deine Antwort gesehen! (i) Also Folgendes: Im Skript des Dozenten steht explizit:

,,Wende Kettenregel an auf

f (x, y, z) = f (x (r, θ, φ), y (r, θ, φ), z (r, θ, φ)) [1]

".

So, du schreibst: ,,Die n_dimensionale Kettenregel ist dann eine Aussage über zwei → Jacobimatrizen"

>

Und genau hier bin ich mir nicht ganz sicher. Also ich habe eben gerade in meinem Mathe-II -Skript nachgeschaut und wir hatten einmal den Satz ,,Kettenregel" und das ist genau das, was du meinst, glaube ich. Also der Satz hat in der Tat mit den Differenzialen (i. e., Jacobimatrizen) zu tun. ABER wir hatten dann ein Korollar, welches ,,Kettenregel in Komponenten" lautet. (Ich schicke dir zwei Screenshots im Anhang, damit du das auch genauer nachlesen kannst.) Ich verstehe diesen Zusammenhang so, dass die Verkettung

\circ

der zwei Jacobi-Matrizen der Multiplikation von zwei Matrizen entspricht, so dass das Korollar sich einfach daraus ergibt.

Was meinst du, godzilla?

(ii) ,,Hazard; du fragstdich, wie bei dem Schritt von (2.1a) nach (2.1b) aus den " geraden d's " auf einmal " runde ∂'s " werden. Es ist quasi nichts weiter als eine Konvention. Welche Ableitung meinen wir denn; was wird fest gehalten, und was wird variiert?
f ändert sich um df , wobei r und θ gleichzeitig FEST GEHALTEN werden und nur φ sich ändert. Genau das meinst du bzw. meint dein Prof.
Und immer, wenn mehrere Koordinaten in Konkurrenz zueinander stehen, pflegt man runde ∂'s zu schreiben; gerade d's gibt es nur, wenn eine Funktion f EINDEUTIG von der Variablen z.B. x abhängt ( und nicht von dreien wie hier. )"

>

godzilla, ich bin wirklich ein blutiger Anfänger, aber die geraden

d ʹ s

tauchen ja gerade auch beim totalen Differenzial auf, wo man eine Funktion hat, die von mehreren Variablen hat. Was mich wirklich bei der Begründung mit dem totalen Differenzial stört, ist, dass wir jetzt sloppy ein

d

durch

\partial

ersetzen wollen (andererseits könntest du mir natürlich genauso gut vorwerfen, dass ich diese sloppiness bei pwmeyer hingenommen habe, als dieser gesagt hat, dass man

f

und

h

ein bisschen flexibler handhabt).

(iii) Ich zitiere dir mal etwas aus unserem (Physik)-Skript dazu:

,,Wir betrachten wieder eine Funktion

z = f (x, y)

von zwei unabhängigen Variablen. Bei festem

(x, y)

möchten wir angeben, wie sich

z = f (x, y)

ändert, wenn wir vom Punkt

(x, y)

zum Punkt

(x + Δ x, y + Δ y)

übergehen. Dabei werden wir uns letzten Endes nur für sehr kleine (infinitesimale)

Δ x

und

Δ y

interessieren. Die Idee ist nun, die Funktion

f (x + Δ x, y + Δ y)

in eine Taylorreihe um den Punkt

(x, y)

zu entwickeln, um die Änderung in

z

zu bestimmen: [...]"

So sind wir also zumindest in Physik auf das totale Differenzial gekommen. Also dann, ich bin auf deine Antwort gespannt. ;-)

Imahn

anonymous

12:44 Uhr, 26.12.2018

Wie versprochen, schicke ich dir im Anhang noch die zwei Screenshots.

godzilla12 aktiv_icon

14:07 Uhr, 26.12.2018

i)

In der Notation deines Dozenten entspräche dein Sonderfall der kttenregel für

n = k = 1, m = 3

. Für mich wie gesagt sehr gewöhnungsbedürftig.
Zu ii) Es ist wohl nur eine Konvention; es würde ja kein Missverständnis daraus erwachsen, wenn du das totale Differenzial notieren würdestals

\partial (f)

statt df
Zu iii) ; du hast völlig Recht. Das totale Differenzial ist der lineare Anteil der Taylorentwicklung; es soll ja pathologische Funktionen geben, die nicht mal die erste Ordnung Taylorreihe überstehen ( Näheres siehe " Kuhrand " , Courant / Hilbert, Bd.

2)

Es reicht ja nicht, dass die erste Ableitung durch drei Zahlen ( Teilableitungen ) repräsentiert wird; die erste Ableirtung bildt erst dann einen Gradienten, wenn sie sich auch wie ein Vektor transformiert.

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