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Partielle DGL mit Produktansatz lösen

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Partielle Differentialgleichungen, Produktansatz

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16:42 Uhr, 27.02.2019

Hallo,

Ich bin gerade an der Aufgabe, eine reellwertige Lösung einer partiellen Differentialgleichung zu finden:

\partial_{x}^{2} u (x, y) - 0.25 \cdot \partial_{y}^{2} u (x, y) = 0

mit

u (x,0) = 0,

u (x, 1) = sin (x),

u (0, y) = 0,

u (π, y) = 0

Ich wende zuerst den Produktansatz an und komme auf:

\frac{v'' (x)}{v (x)} = \frac{w'' (y)}{4 \cdot w (y)} = k

Nun habe ich geschaut, für welche der drei Fälle

(k > 0, k = 0, k < 0)

man ausschließen kann und bin darauf gekommen, dass man sich den Fall

k < 0

anschauen muss.

Jedoch habe ich nun Probleme, die Randwerte korrekt mit einzubeziehen:

Für

v'' (x) - k \cdot v (x) = 0

bekommt man als Lösung:

v (x) = c_{1} \cdot e^{i \sqrt{| k |} x} + c_{2} e^{- i \sqrt{| k |} x} = c_{1} cos (\sqrt{| k |} x) + c_{2} sin (\sqrt{| k |} x)

hier bekomme ich aus den homogenen Randbedingungen, dass

C_{1} = 0

ist und, dass

v (π) = c_{2} \cdot sin (\sqrt{| k |} π) = 0 \to \sqrt{| k |} = n

sein muss

\to v (x) = c_{2} sin (n x)

Nun Schaue ich mir meinen Y-Teil an mit:

w'' (y) - 4 k w (y) = 0,

hieraus ergibt sich als Lösung:

w (y) = c_{3} \cdot e^{2 i \sqrt{| k |} y} + c_{4} \cdot e^{- 2 i \sqrt{| k |} y} = c_{3} cos (2 \sqrt{| k |} y) + c_{4} sin (2 \sqrt{| k |} y)

Aus der homogenen Randbedingung

(w (0) = 0)

schließe ich nun auf

c_{3} = 0

und somit komme ich auf die Lösung

w (y) = c_{4} \cdot sin (2 \sqrt{| k |} y) = c_{4} sin (2 n x)

Führe ich die Lösungen nun Zusammen, erhalte ich:

u (x, y) = c_{5} \cdot sin (n x) \cdot sin (2 n y)

Jedoch komme ich nun in "konflikt" mit der inhomogenen Randbedingung:

u (x,1) = c_{5} \cdot sin (n x) \cdot sin (2 n) = sin (x)

Hier komme ich nicht weiter, da ich so nicht wirklich auf eine Lösung komme!

Es wäre sehr hilfreich, wenn mir jemand zeigen kann, wo ich einen Fehler gemacht habe, da ich davon ausgehe, dass das Ergebnis für

u (x, y)

so schon nicht stimmt!

Viele Grüße

Copex

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