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Partielle Integration arcsin

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: arcsin, Integration, Partielle Integration

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11:42 Uhr, 10.08.2016

Hallo Leute,

ich benötige Eure Unterstützung.

Die Aufgabe lautet:

Berechnen Sie mit partieller Integration: $\int$ arcsin (x) $d x$

Hinweis: Verwenden Sie, das gilt $\frac{d}{d x}$ arcsin (x) $= \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Ich kann mit dem Hinweis nicht viel anfangen... Ich weiß, dass es sich bei $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ um die erste Ableitung von arcsin $(x)$ handelt...

mein Ansatz wäre:

$f (x) =$ arcsin $(x)$
$f' (x) = \frac{d}{d x}$ arcsin (x) $= \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} = {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}$

Nun würde ich $f' (x)$ "aufleiten". Funktioniert das mit der Kettenregel?

Lieben Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

funke_61 aktiv_icon

11:58 Uhr, 10.08.2016

Hallo,
die Allgemeine Formel für die partielle Integration ist
$\int u' \cdot v = u \cdot v - \int u \cdot v'$
Hier verwendest Du aufgrund des Hinweises am besten für
$u' = 1$
und für
$v = a r c sin (x)$

probier nun mal bitte zunächst
$u$
und
$v'$
zu ermitteln
;-)

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12:14 Uhr, 10.08.2016

Vielen Dank für die rasche Antwort :-)

Wenn man die partielle Integration verwendet, lautet doch die formel: $f (x) =$ 1*arcsin (x) $,$ oder?

Wenn ich $1 = u'$ nehme, dann ist $u = x$

$v =$ arcsin(x)
Dann ist $v' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Somit erhalte ich $\int$ arcsin (x) $d x = [u \cdot v] - \int u \cdot v' d x = [$ x*arcsin $(x)] - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Ist das so korrekt?

funke_61 aktiv_icon

12:17 Uhr, 10.08.2016

genau richtig :-)
so nun geht es nur noch um das hintere Integral
$- \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$
Irgendeine Idee?

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12:19 Uhr, 10.08.2016

Da fällt mir spontan nur die partielle Integration ein....

funke_61 aktiv_icon

12:22 Uhr, 10.08.2016

Vielleicht gehts damit,
aber mit "Substitution" gehts sicher einfacher.
substituiere
$w = (1 - x^{2})$

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12:24 Uhr, 10.08.2016

$v = x$
$v' = 1$

$u = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$
$u' = - \frac{3}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \cdot (- 2) = 3 \cdot {(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$

funke_61 aktiv_icon

12:30 Uhr, 10.08.2016

so rum gehts aber nicht!
wenn Du
$v = x$
$v' = 1$
nimmst,
dann musst Du
$u' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
integrieren, denn zur Anwendung der Formel für die partielle Integration musst Du in diesem Fall noch
$u$
ermitteln!

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12:36 Uhr, 10.08.2016

Ich habe für das hintere Integral $- \sqrt{(1 - x^{2})}$ erhalten...

funke_61 aktiv_icon

12:37 Uhr, 10.08.2016

stimmt . . . bis auf die fehlende Integrtationskonstante . . .

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12:38 Uhr, 10.08.2016

Das ist mir auch gerade aufgefallen... XD

Jomeus aktiv_icon

12:39 Uhr, 10.08.2016

Vielen Dank :-)

funke_61 aktiv_icon

12:40 Uhr, 10.08.2016

bitteschön :-)

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