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Partielle Summation

Universität / Fachhochschule

Integration

Partielle Differentialgleichungen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Integration, Partielle Differentialgleichungen, Partielle Summation, Summation, Summen, unbestimmte Summe, Wahrscheinlichkeitsmaß

Theresa5555 aktiv_icon

18:41 Uhr, 25.12.2020

a)

Berechnen Sie

\sum_{k = 1}^{3} \frac{k}{(k + 1) (k + 2)}

mit Hilfe der unbestimmten Summe und partieller
Summation.

b)

Bestimmen Sie eine explizite Darstellung von

\sum_{k = 1}^{n - 1} k^{2} \cdot H_{k}, n

∈

N_{\geq 2}

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

rundblick aktiv_icon

18:48 Uhr, 25.12.2020

.
bei

a)

\to

was ist denn eine "unbestimmten Summe" ??
und:

\to

kannst du die drei Summanden aufschreiben, die bei

a)

entstehen?

\to ... .

?

.

Theresa5555 aktiv_icon

18:57 Uhr, 25.12.2020

"Seien

g, f

reelle Funktionen auf

ℝ

mit

Δ f (x) = g (x)

für all

x \in ℝ

.
Wir bezeichnen mit

\sum_{.} g (x) δ x

die Menge von Funktionen, deren Differenz

g (x)

ist und nennen sie unbestimmte Summe von g(x)."
Das ist die Definition aus dem Buch, aber ich habe nicht so gut verstanden, was das bedeutet.

Theresa5555 aktiv_icon

19:05 Uhr, 25.12.2020

a)

ist die Summe

(\frac{1}{(1 + 1) (1 + 2)}) + (\frac{2}{(2 + 1) (2 + 2)}) + (\frac{3}{(3 + 1) (3 + 2)}),

und die Antwort ist

\frac{29}{60},

aber das hilft mir nicht, weil ich das mit Partielle Summation berechnen muss.

rundblick aktiv_icon

19:07 Uhr, 25.12.2020

.
ja

\to \frac{29}{60}

ist der richtige Wert der notierten Summe

aber - wie du sagst - das kann nicht der Sinn dieser Aufgabe sein...

meine Vermutung ist:

du sollst zunächst das unbestimmte Integral

\int \frac{x}{(x + 1) \cdot (x + 2)} \cdot d x

(evtl. mit partieller Integration?? ) berechnen..
und damit dann den Wert des bestimmten Integrals

\int_{1}^{3} (\frac{x}{(x + 1) \cdot (x + 2)}) \cdot d x

ermitteln ..

in welchem Zusammenhang/ bzw. von wem hast du diese Aufgabe eingefangen ?

.

Theresa5555 aktiv_icon

19:52 Uhr, 25.12.2020

Ich habe Integral berechnet, aber der Wert stimmt nicht mit dem Wert von der Summe überein. Ich habe diese Aufgabe von meinem Professor bekommen. Im Internet habe ich gar nichts über diese "unbestimmte Summen" gefunden...

rundblick aktiv_icon

20:34 Uhr, 25.12.2020

.

"ich gar nichts über diese "unbestimmte Summen" gefunden.."

kein Wunder - es geht wohl hier um unbestimmte

\to

Integrale
nebenbei: Integrale sind ja ganz spezielle Summen :-)

und für die Berechnung des unbestimmten Integrals

\int \frac{x}{(x + 1) \cdot (x + 2)} \cdot d x

ist wohl nicht "partielle" Integration angesagt sondern
Integration nach einer Partialbruchzerlegung von

\frac{x}{(x + 1) \cdot (x + 2)}

dein Prof. scheint Probleme mit Fachbegriffen zu haben

...

. :-)

nebenbei:
Ansatz zur Partialbruchzerlegung

\to

\frac{x}{(x + 1) \cdot (x + 2)} = \frac{a}{x + 1} + \frac{b}{x + 2}

berechne

a =

? und

b =

? ..(mit

a, b \in ℝ)

Theresa5555 aktiv_icon

20:52 Uhr, 25.12.2020

Achsoo, jetzt habe ich verstanden...
Danke.
Und was ist mit

b)

rundblick aktiv_icon

21:26 Uhr, 25.12.2020

.

"Achsoo, jetzt habe ich verstanden..."

prima

aber notiere doch bitte noch deine Ergebnisse

\to

\int \frac{x}{(x + 1) \cdot (x + 2)} \cdot d x = ... .

\int_{1}^{3} (\frac{x}{(x + 1) \cdot (x + 2)}) \cdot d x = . .

.

"Und was ist mit b)?"

gute Frage -
was soll Mann denn zum Sinn dieses lustigen Aufgaben-Gebildes noch sagen?
(wer ist zB

H_{k}

und was ist hier Aufregendes mit "explizit dargestellt" gemeint?)
Frage: um was für ein Studienfach handelt es sich da eigentlich ?

\to . .

.

.

Roman-22

22:23 Uhr, 25.12.2020

>

dein Prof. scheint Probleme mit Fachbegriffen zu haben

...

. :-)
Vielleicht aber fehlt auch Herrn rundblick nur der Weitblick

>

wer ist zB Hk
Vorschlag: Die k-te Harmonische Zahl!?
de.wikipedia.org/wiki/Harmonische_Reihe#Definition

>

Frage: um was für ein Studienfach handelt es sich da eigentlich ?
Na, offensichtlich um eines, in dem man nicht nur Differentialrechnung betreibt, sondern auch Differenzenrechnung. Und da gibts eben zB auch den Fachbegriff "Partielle Summe". Siehe zB de.wikipedia.org/wiki/Differenzenrechnung#Produktregel_und_partielle_Summation

Theresa5555 aktiv_icon

22:35 Uhr, 25.12.2020

Also, Integral habe ich so berechnet:

\int \frac{x}{(x + 1) (x + 2)} d x = \int - \frac{1}{x + 1} d x + \int \frac{2}{x + 2} d x = - ln (| x + 1 |) + 2 ln (| x + 2 |) + C

.
Wie ich schon gesagt habe, die Ergebnisse von bestimmte Integral und die Summe stimmen nicht überein.

\int_{1}^{3} \frac{x}{(x + 1) (x + 2)} d x = . .

= ln (\frac{25}{18})

b)

Ich denke,dass "explizite Darstellung" ist ein geschlossener Ausdruck für die Summe.
Und

H_{k}

ist

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}

Das ist Teil der diskreten Mathematik und die Studiengang ist Bioinforatik:-)

rundblick aktiv_icon

22:37 Uhr, 25.12.2020

.
Produktregel und partielle Summation
Roman du hast Recht - das war mir tatsächlich bisher entgangen ..
sorry
und: ja, Theresa5555, deine Integralergebnisse sind trotzdem auch richtig...
.

Theresa5555 aktiv_icon

22:38 Uhr, 25.12.2020

"da gibts eben zB auch den Fachbegriff "Partielle Summe"." Ja genau! Das ist was ich brauche, aber ich habe nicht genau verstanden, wie ich das in diesem Beispiel anwenden muss

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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