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Partiell,stetig,total differenzierbar

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

anonymous

15:25 Uhr, 07.02.2014

Hallo alle miteinander :-)

Also meine Frage: Ich habe eine Funktion $f (x, y) = x \cdot y \cdot {(x^{2} + y^{2})}^{- (\frac{1}{2})}$ für(x,y) $\neq 0$ und $f (0,0) = 0$ .
Ist diese Funktion partiell differenzierbar, stetig differenzierbar oder total differenzierbar?

Ich habe alle Definitionen natürlich schon angeschaut, kanns auch auswendig, aber in der Praxis versteh ichs dann leider noch nicht.
Habe mal die Funktion nach $x, \times,$ $y$ ,yy, xy bzw.yx abgeleitet, aber wie gehts dann weiter?
wär toll wenn mir jemand erklärt wie man das grundsätzlich macht..

Liebe Grüße, sunday

pwmeyer aktiv_icon

17:52 Uhr, 07.02.2014

Hallo,

für Punkte $(x, y) \neq (0,0)$ ist $f$ durch elementare Funktionen definiert, die partiellen Ableitungen lassen sich berechnen (hast Du ja schon gemacht) und sind offenbar stetig, also ist $f$ in diesen Punkten total differenzierbar - nach einem Satz, den Ihr ziemlich sicher besprochen habt.

Bleibt noch der Punkt $(0,0)$ . In diesem Punkt musst Du die beiden partiellen Ableitungen nach der Definition, also durch Differenzenquotient, berechnen. Und diese damit die Definition der totalen Differenzierbarkeit zu überprüfen.

Wenn du da Probleme hast, solltest Du mal hier Eure Formulierung hinschreiben, damit man konkret antworten kann.

Gruß pwm

anonymous

20:45 Uhr, 07.02.2014

Danke, du hast mir schon sehr geholfen.

Wir haben total diff. so definiert: EIne Funktion $f : G \to ℝ^{n}$ heißt diff. od. total diiferenzierbar im Punkt $ξ$ (Element aus $G),$ wenn es eine nxm Matrix A gibt, so dass

$lim x \to ξ \frac{f (x) - f (ξ) - A \cdot (x - ξ)}{I I x - ξ I I} = 0$

$ψ (x) := \frac{f (x) - f (ξ) - A \cdot (x - ξ)}{I I x - ξ I I} (x \neq ξ), ψ (ξ) = 0$ ist stetig in $ξ$ . A heißt Ableitung von $f$ In $ξ$ .

So haben wir das definiert.

Oder muss ich evtl das mit richtungsableitung machen? Wenn ja, wie geht das? Hab wieder nur die Definition.

Liebe Grüße,Danke:-)

pwmeyer aktiv_icon

11:18 Uhr, 09.02.2014

Hallo,

Du musst im Nullpunkt zunächst die partiellen Ableitungen bestimmen - als Grenzwert von Differenzenquotienten - und diese dann in die Matrix A einsetzen, um die Bedingung zu überprüfen.

Gruß pwm

anonymous

11:36 Uhr, 09.02.2014

Heißt dass, ich soll

$lim h \to 0$ von $\frac{d}{d x} (f) = lim h \to 0 \frac{1}{h} \cdot (f (h,0) - f (0,0)$ berechnen

und das halt auch nach den anderen partiellen ableitungen?

Ist das dann meine Matrix $A,$ wenn überall dass gleiche rauskommt?

LG und danke!

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