Pascalsches Dreieck Formel in geschlossener Form

Hallo,

ich arbeite gerade an ein paar Aufgaben zum Pascalschen Dreieck und komme bei einer gar nicht voran.

Das Pascalsche Dreieck gibt in er n-ten zeile und in der i-ten Spalte den Wert ${\displaystyle \left(\stackrel{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}$ aus. (n≥0; i≥0)

Geben Sie bitte die Summe "Summe von i=0 bis n" von ${\displaystyle \mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \left(\stackrel{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}$ in geschlossener Form an. D.h. durch Formel ohne Summenzeichen und ohne Laufindex i. Die Formel soll nur von n abhängig sein.

Hinweis: Betrachten Sie die Formel ${\displaystyle \left(\stackrel{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)=\stackrel{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \left(\frac{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}\right)}$ für i ∈ N mit 0≤i≤n.

Außerdem gilt für jede endliche Summe "Summe von i=1 bis n" von a_{i-1 =} "Summe von i=0 bis n-1" von a_i.

Die Summenzeichen habe ich leider nicht gefunden, hoffe aber, dass das auch so irgendwie zu lösen ist.

Gruß

diddoff

Ok, so weit, so gut.

Mir ist jetzt noch nicht ganz klar, wie ich dann genau von der Summenformel zu ${\displaystyle {(1+1)}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}}$ komme.