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Pascalsches Dreieck & Newtonsche Binomialformel

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient, Newtonsche Binomialformel, Palcasches Dreieck

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15:16 Uhr, 26.09.2010

Hallo Leute,

ich mache gerade Übungsaufgaben, um zu prüfen, ob ich den Stoff auch wirklich verstanden habe und dabei sind mir 2 Fragen in den Sinn gekommen und zwar :

- Warum stehen eigentlich diese ganzen Einsen am Rande des Pascalschen Dreieck?

- Außerdem beschäftigt mich folgende Übung schon seit einer geraumen Zeit :

Man hat

(n

über

0) 2^{n} - 1 + (n

über

1) 2^{n} - 1 + (n

über

2) 2^{n} - 2 - . .

+ {(- 1)}^{n} (n

über

n)

Ist gleich an:

a) 0 b) 1 c) - 1 d) {(- 1)}^{n}

Ich weiß wirklich nicht, ob ich irgendetwas während der Vorlesung nicht mitbekommen habe, aber ich weiß partout nicht was es in dieser Übung zu berechnen gibt, also wie man da vorgehen soll. Unser prof. hat lediglich die Binomialformel von Newton an die Tafel geschrieben und weiter nichts darüber geäußert.
Also ich weiß nicht was man mit diesen Klammern vor den einzelnen Rechnungen anfangen soll

: S

Wäre schön, wenn ihr mir weiterhelfen könntet, denn ich komme einfach nicht darauf...

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

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15:23 Uhr, 26.09.2010

Moin, im Pascalschen Dreieck stehen, vereinfacht gesagt, in der

n

-ten Zeile die Koeffizienten vor den Gliedern der ausmultiplizierten Formeln

(a + b)^{n}

. Für

n = 2

haben wir zum Beispiel:

(a + b)^{2} = 1 * a^{2} + 2 * a b + 1 * b^{2}

die entsprechende Zeile im Dreieck ist also

(1, 2, 1)

. Daher die Einser am Rand.

Was die Aufgabe angeht: Müsste da vor den drei Punkten nicht ein Einser hin statt dem Zweier? Sonst erkenn ich da kein System...

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15:51 Uhr, 26.09.2010

Hey Photon,

vielen Dank für die schnelle Antwort, wollte mich eigentlich schon viel früher melden, aber ich war in einer anderen Aufgabe vertieft.

Zur 2. Frage : Ich hab mich da vertan, wo den 3 Punkten steht diese 2 eigentlich nicht,

d . h

. nach dem

(n

über

2) 2^{n} - 2

folgt nach den

. .

. direkt die

+ {(- 1)}^{n} (n

über

n)

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16:00 Uhr, 26.09.2010

Versteh immer noch nicht, wie es richtig sein sollte... Der letzte Summand ist auch komisch, auf einmal plötzlich

(- 1)^{n}

, wo davor doch immer

2^{n}

stand...

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16:07 Uhr, 26.09.2010

Genau das ist auch mein Problem...Total komisch die Aufgabe!

So steht's geschrieben:

(n

über

0) 2 n - 1 + (n

über

1) 2 n - 1 + (n

über

2) 2 n - . .

+ (- 1) n (n

über

n)

Wenn ich diese Aufgabe schon nicht lösen kann, dann kann ich diese hier auch nicht:

Σ über dem

σ

steht

n - 1

und darunter

k = 0

und dann steht wieder

(n

über

k)

von

a^{k}

ich mein die ganzen Aufgaben bauen ja aufeinander auf und ich kann mir einfach nicht erklären was es da zu berechnen gibt, wenn davor dieses

n

über

. .

. steht

: S

Ignorieren wir mal diese 1...was müsste ich denn dann genau berechnen also wie müsste ich vorgehen

\land

ohjeee :-)

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16:14 Uhr, 26.09.2010

Moin, versuch dich doch mal beim Posten am Expertenmodus, sonst kann man das nicht lesen. :-)

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16:31 Uhr, 26.09.2010

Okay, kein Problem:

Also nehmen wir mal an, dass die Übung wie folgt lauten würde:

\binom{n}{0} 2^{n} - \binom{n}{1} 2^{n} - 1 + \binom{n}{2} 2^{n} - 2 - . . . + . . .

Was müsste ich denn da genau berechnen? Das will mir einfach nicht in den Sinn & woher diese 1 herkommt, ist mir ebenfalls ein Rätsel, so steht es aber auf der Übungsseite...

Ich hoffe, dass man das ganze Wirr Warr nun besser "entziffern" kann, wenn nicht, dann könnte ich die Internetseite, auf der die Übungen stehen rüberschicken (falls die's erlaubt ist natürlich)

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16:44 Uhr, 26.09.2010

Das kann man ja dann schreiben als

\sum_{i = 0}^{n} [(\binom{n}{i}) 2^{n} - i]

Ich würde diesen Ausdruck für kleine n berechnen, versuchen eine Gesetzmäßigkeit bei den Ergebnissen zu finden, eine Ergebnisformel aufstellen und per Induktion zeigen, dass sie stimmt.

edit: Und mit de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient#Summen_mit_Binomialkoeffizienten und de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel braucht man nicht mal viel rumzuprobieren! :-)

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12:44 Uhr, 27.09.2010

Hey Photon,

vielen Dank erstmal für die nützlichen Links (waren echt hilfreich);-)
Zu deinem Lösungsvorschlag: Ich weiß leider nicht was du genau meinst :S

Also nochmal:

{n \choose 0}2^n - {n \choose 1}2^n-1 + {n \choose 2}2^n-2 - .. + (-1)^n{n \choose n}
Ist gleich an:
a) 0 b) 1 c) -1 d) (-1)^n
Und jetzt frag ich mich was man denn genau berechnen muss, um auf eine der oben genannten Lösungen zu kommen.
Für mich ist das grade so, als würde man sagen 3+2=
a) 5 b) 4 c) 6
Und wenn ich nicht weiß was es mit dem + auf sich hat, dann wüsste ich ja nicht was ich nun machen muss, um zu wissen welche der Lösungen korrekt ist.
Für mich stehen da jetzt nur Zahlen und die Binomialkoeffizienten. Was ich mit ihnen jetzt anfangen muss, um auf eine Lösung zu kommen, ist mir aber bis dato leider nicht klar.
Ich hoffe, du verstehst jetzt mein Problem etwas genauer ^^

LG

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13:54 Uhr, 27.09.2010

Moin, stimmt, es gibt ja die ganzen Antwortmöglichkeiten auch noch... Ich hab übrigens einen kleinen Fehler eingebaut.

Gehst du mit mir mit, wenn ich sage, dass man die Summe als

\sum_{i = 0}^{n} [(- 1)^{i} (\binom{n}{i}) 2^{n} - i]

darstellen kann? Dann vereinfachen wir doch mal etwas:

\sum_{i = 0}^{n} [(- 1)^{i} (\binom{n}{i}) 2^{n} - i] = \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) 2^{n} - \sum_{i = 0}^{n} i = 2^{n} \sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) - \sum_{i = 0}^{n} i

Jetzt kommen die Summenformeln in Wiki ins Spiel (wobei man wegen dem

(- 1)^{i}

nun doch eine andere braucht: de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient#Summen_mit_alternierenden_Binomialkoeffizienten:

\sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) = 0

und

\sum_{i = 0}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}

Damit verschwindet der erste Summand und der zweite ergibt sich zu

- \frac{n (n + 1)}{2}

Könnte es sein, dass die Formel so geht:

\sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} [(\binom{n}{i}) 2^{n} - i]

(beachte die Klammerung, jetzt wechselt der zweite Summand auch das Vorzeichen)? Dann würde gerade die Antwort

(- 1)^{n}

rauskommen.

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15:02 Uhr, 27.09.2010

Ohjeee du wirst mich jetzt wahrscheinlich für komplett be***** halten, aber ich blicke da einfach nicht durch :S

Okay, gehen wir das Ganze mal von einer anderen Richtung an:

Ich habe: \sum\limits_{j=0}^{2008} {2008 \choose 2008-j} 2^j*(-1)^2008-j

Frage: Wir sehen, dass diese große Klammer wieder vor einem Term auftaucht und zwar vor 2^j*... Was muss ich nun mit dieser Klanner anstellen bzw. was hat dieses {2008 \choose 2008-j} zu bedeuten? Muss ich {2008 \choose 2008-j} * 2^j rechnen oder wie?

LG

PS: Ich kriege den Trick mit den Mathezeichen einfach nicht raus...Bin zwar im Experten-Modus, aber komischerweise tut sich nichts :-)

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15:07 Uhr, 27.09.2010

Moin, es fehlen wohl die $-Tags. :-) Wie kommst du denn auf 2008?

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15:23 Uhr, 27.09.2010

Auf 2008? Ich könnte auch 5 hinschreiben, also diese Zahl dient nur als Beispiel für mich, um halt zu wissen was man mit dieser großen klammer anstellen muss.

Ich hoffe, dass man aus dem Ganzen etwas "entziffern" kann.
Also über dem \Sigma steht 2008 und darunter j=0

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15:28 Uhr, 27.09.2010

Ah, verstehe.

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}

ist die Definition der Klammern.

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15:44 Uhr, 27.09.2010

Jap das stimmt, also heißt es : 2008! / (2008-j)!*(2008-2008+j)!

Und wie muss ich dann in dieser Übung weitergehen? Muss ich 2008! / (2008-j)!*(2008-2008+j)! * 2^... rechnen oder wie?

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15:47 Uhr, 27.09.2010

Wenn du es explizit berechnen möchtest, dann schon, ja.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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