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Pascalsches Dreieck beweisen
Universität / Fachhochschule
Tags: Binomialkoeffizient, Pascalsches Dreieck
 
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Hallo, ich habe folgende Frage: Ich habe eine Aufgabe vor mir liegen, bei der ich scheinbar das Pascalsche Dreieck beweisen soll. Die Aufgabe lautet wie folgt: Lisa fällt auf, dass jede Zeile symmetrisch ist, . die Zahlen werden erst immer größer, dann folgen die gleichen Zahlen in umgekehrter Reihenfolge. Lisa fällt ein, dass sie dazu eine allgemeine Gesetzmäßigkeit in der Vorlesung kennengelernt hat. Welche allgemeine Formel (aus der Vorlesung) für die Binomialkoeffizienten meint Lisa damit? Dazu habe ich über über über . Ist das richtig so? Nun muss ich die Gültigkeit der gesuchten Formel zeigen. Dabei soll ich mit - der Definition des Binomialkoeffizienten, - des binomischen Lehrsatzes, - der Interpretation von über als Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge in eigenen Worten begründen. Nun ist die Frage, wie ich das in eigenen Worten begründen soll. Die Definition des Binomialkoeffizenten lautet ja, dass über mögliche Anordnungsmöglichkeiten gibt. Der Binomische Lehrsatz sagt uns ja nur, wie man hochpotenzige Klammern löst und mit der Aussage "der Interpretation von über als Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge" weiss ich nichts anzufangen. Ohne die Anweisung die Formel in eigenen Worten zu veranschaulichen hätte ich die Formel Schritt für Schritt hergeleitet, aber das ist hier nicht das Ziel. Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen und vielen Dank im Voraus! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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> Dazu habe ich n über k=n-1 über k-1+n-1 über k. Ist das richtig so? Ok, lesbar geschrieben meinst du . Das ist zwar richtig, und ist die formelmäßige Umsetzung des Bildungsgesetzes des Pascalschen Dreiecks "Jeder Eintrag ist gleich der Summe der beiden links und rechts schräg darüber stehenden Zahlen". Aber das ist es nicht, was Lisa beobachtet und beschrieben hat. :( > die Zahlen werden erst immer größer, dann folgen die gleichen Zahlen in umgekehrter Reihenfolge Insbesondere letzteres würde man eher mit der Symmetrie-Gleichung beschreiben. |
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Ich hab hier nochmal die Tabelle, aber unausgefüllt. Aber wie beschreibe ich jetzt die Gültigkeit der Formel in eigenen Worten ohne eine Herleitung zu machen? Mein Ansatz wäre folgender: Mit Hilfe des Binomialkoeffizenten: Es gibt Möglichkeiten und Treffer, wobei über die Anzahl aller Möglichkeiten beschreibt. Wenn man in die Symetrieformel beispieltwerte einsetzt sieht man, dass die Gleichung stimmt. Mir fällt es jetzt aber schwer zu deuten. Und die beschreibung der Gültigkeit mit dem Binomischen Lehrsatz und der Interpretation von über als Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge gelingt mir garnicht. Ich wäre sehr dankbar dafür, falls mir jemand dies Erklärt. Vielen Dank im Voraus.  |
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Das Pascalsche Dreieck ist mir kein Rätsel - wohl aber, was du jetzt dafür plötzlich alles nachweisen bzw. behandelt wissen willst. Aus dem Abschnitt "Lisa fällt auf, dass jede Zeile symmetrisch ist, d.h. die Zahlen werden erst immer größer, dann folgen die gleichen Zahlen in umgekehrter Reihenfolge. Lisa fällt ein, dass sie dazu eine allgemeine Gesetzmäßigkeit in der Vorlesung kennengelernt hat. Welche allgemeine Formel (aus der Vorlesung) für die Binomialkoeffizienten meint Lisa damit?" kann ich diese Liste von Aufträgen jedenfalls nicht ablesen. Und was die Tabelle mit dem teilweise ausgefüllten Pascalschen Dreieck damit zu tun haben soll, auch nicht. |
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Ich habe nun nochmal die ganze Aufgabe als Bild gesendet. Durch das Ausfüllen der Tabelle sieht man tatsächlich, dass die Zeilen auf und wieder ab steigen. Dazu passt ja, wie du schon gesagt hast, die Gleichung über über . Nun soll ich die Formel, mit Hilfe von i)-iii), erklären. Genau bei diesem Erklären komme ich nicht weiter. Ich würde die Formel am ehesten umstellen und das dadurch folgern, aber dies ist ja nicht verlangt in der Aufgabe. Ich verstehe nicht, wie ich das in meinen eigenen Worten erklären soll. Danke im Voraus   |
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Hallo, na das mit den eigenen Worten finde ich etwas merkwürdig formuliert hängt davon ab, wie Ihr die Bk definiert habt, aber es heißt wohl rechnerisch (ii) Verwerte . wende auf jede Seite den binomischen Lehrsatz an. (iii) Beachte: Wenn Du eine Teilmenge mit Elementen auswählst, ist die Restmenge eine Menge mit Elementen. Gruß pwm |
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Danke für deine Antwort. Ich habe bei der nun einfach die Äquivalenz gezeigt und dann mit der Symmetrie und anhand eines Beispiels die Gültigkeit gezeigt. Bei der ii) habe ich den binomischen Lehrsatz auf beide Seiten angewendet und aufgrund der Symmetrie der Zeilen das gleich rauskommende Ergebnis begründet. Bei der iii) habe ich eigentlich deinen Ansatz übernommen, da ich nicht wüsste was ich dazu ergänzen soll. Ich hoffe ich liege bei meinen Deutungen richtig. Falls jemand anderer Meinung ist bin ich gerne offen für Ratschläge. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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