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Pasch, wahrscheinlichkeit

Schüler

Tags: Kombination, Kombinatorik, permutation, Variation, Wahrscheinlichkeit

Marie1278 aktiv_icon

20:56 Uhr, 30.03.2018

Hallo,

folgende Aufgabe ist gegeben
Die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln einen Pasch

(11, 22,

. . .

, 66)

zu erhalten, beträgt bekanntlich

16

.

Es wird 4-mal hintereinander jeweils mit 2 Würfeln gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt genau 3-mal Pasch fällt,
wenn bekannt ist, dass mindestens einmal Pasch dabei war? Angenommen, Pasch fällt insgesamt genau 3-mal, mit welcher Wahrscheinlichkeit waren dann diese drei Pasch-Würfe hintereinander?

Ich wollte zunächst einmal die Wahrscheinlichkeit dafür ausrechnen 3 mal einen Pasch bei 4 Würden zu werfen.

Meine Überlegung war folgende:

es gibt 6 Möglichkeiten einen Pasch zu werfen.
Demnach

6^{3}

Möglichkeiten einen Pasch dreimal zu werden.
Nun müsste ich

6^{3}

mit 4 multiplizieren, da ich ja die Möglichkeiten habe:
Kein Pasch-Pasch-Pasch-Pasch

P - k - p - p

P - p - k - p

P - p - p - k

Und dann hätte ich das gesamte durch

36^{4}

geteilt, für die Zahl aller Möglichkeiten

Nun ist meine Lösung leider falsch

Lösung: P(A)=4⋅(1/6)^3⋅5/6=5324=0,015

Über eine Antwort würde ich mich freuen.

Mit freundlichen Grüßen
Marie

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

abakus

21:14 Uhr, 30.03.2018

Es handelt sich um die vierfache Wiederholung eines Bernoulli-Experiments.
Die Wahrscheinlichkeit einen Pasch zu würfeln ist in allen vier Versuchen die Gleiche,
also handelt es sich um eine Bernoullikette.
Die Länge der Kette ist n=4, und die Trefferwahrscheinlichkeit bei einem Versuch ist p=1/6.

Die Trefferanzahl (nennen wir sie X) ist somit binomialverteilt mit den Parametern n=4 und p=1/6, und die Wahrscheinlichkeit P(X=3) ist deshalb

(\begin{array}{rcl} 4 \\ 3 \end{array}) \cdot (\frac{1}{6})^{3} \cdot (\frac{5}{6})^{1}

Roman-22

21:50 Uhr, 30.03.2018

Du kommst auch mit deinem kombinatorischen Ansatz zur richtigen Lösung, nur hast du dabei etwas vergessen.
Dass man durch

36^{4}

dividieren muss hast du ebenso richtig wie den Faktor

4,

da der Nicht-Pasch an vier Stellen vorkommen kann und auch die

6^{3}

Möglichen für die 3 Pasche sind OK. Nicht berücksichtigt hast du aber den Nicht-Pasch Wurf. Für den gibt es ja auch

30

Möglichkeiten!
Und damit kommst du auch abzählend zum richtigen Ergebnis:

\frac{4 \cdot 6^{3} \cdot 30}{36^{4}} = \frac{5}{324} \approx 1,543 %

Dir hat also "nur" der Faktor

30

gefehlt.

anonymous

08:58 Uhr, 31.03.2018

Hallo
Darf ich ergänzen:
Der Gedankengang wird meist unter Binomialverteilung benannt.
Und die Formel dafür hast du in deiner 'Lösung' schon benannt:

Binomialverteilung:
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Vorgang mit der Wahrscheinlichkeit

p,

wenn man es n-mal ausführt, genau k-mal eintritt, ist:

p = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}

In deinem Fall:
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Pasch mit der Wahrscheinlichkeit

p = \frac{1}{6},

wenn man es 4-mal ausführt, genau 3-mal eintritt, ist:

p = (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{3} \cdot {(\frac{5}{6})}^{4 - 3}

Zur Übung - und nicht nur zur Übung - errechne doch mal die Wahrscheinlichkeit dafür,

>

dass gar kein Pasch auftritt,

>

dass genau ein Pasch auftritt,

>

dass genau zwei Paschs auftritt,

>

dass genau drei Paschs auftreten hast du ja schon...

>

dass genau vier Paschs auftreten.

Jetzt der Punkt:
Ich denke, wir sind uns einig:
Die Wahrscheinlichkeit, wenn wir mit zwei Würfeln 4-mal würfeln, genau 3-mal einen Pasch zu würfeln, beträgt:

p = 4 \cdot {(\frac{1}{6})}^{3} \cdot (\frac{5}{6})

Du hattest aber formuliert:
"Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt genau 3-mal Pasch fällt, wenn bekannt ist, dass mindestens einmal Pasch dabei war?"
Und das ist etwas ANDERES!

Willst du uns mal die Original-Aufgabenstellung vor Augen führen?
Oder willst du mal noch die Aufgabe angehen, die du selbst formuliert hast?
Tipps hast du schon bekommen.
Der Lösung sind wir nur schon nahe gekommen, aber sie ist noch nicht festgenommen...

Roman-22

10:48 Uhr, 31.03.2018

@kreadoor

>

Darf ich ergänzen:
??

>

Der Gedankengang wird meist unter Binomialverteilung benannt.
Welcher Gedankengang? Der von Marie, welchen ich dann weitergesponnen hatte, nicht. Das ist ein kombinatorischer, abzählender Ansatz.

>

Und die Formel dafür hast du in deiner 'Lösung' schon benannt:
Nö, sie hat nur die ihr gegebene Lösung abgeschrieben. Benannt hat sie keine Formel und vielleicht auch gar nicht erkannt, dass es eine ist. Möglicherweise soll diese Aufgabe auch erst zur allgemeinen Formel für binomialverteilte Zufallsgrößen hinführen und ist diese noch gar nicht im Unterricht behandelt worden. Denn die angegebene Lösung kann man doch leicht auch ohne Verwendung dieser allg. Formel genau so entwickeln, wenn man als Schüler nicht abzählend an die Aufgabe ran geht, sondern direkt mit den Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse rechnet.
Diese Überlegungen sind auch der Grund, warum ich, wenn möglich, in Antworten lieber den Gedankengang der Fragesteller aufgreife, korrigiere und weiterspinne (ihn also dort abhole, wo er steht) und nach Möglichkeit vermeide, ihnen ungefragt irgendwelche Formeln oder Rechnewege aufs Aug zu drücken, die ihnen vl noch nicht bekannt sind. Das bedeutet natürlich nicht, dass man nicht auch anschließend zusätzlich darauf hinweisen kann, dass es da noch andere Methoden gibt, die vl kürzer, einfacher, mit weniger Denkarbeit verbunden sind.
Im konkreten Fall finde ich es allerdings viel besser, wenn Marie sich erst hier selbst eine Lösung durch Abzählen der Möglichkeiten zusammen bastelt, da dadurch erst eine Vorstellung und Verständnis für solche Aufgaben entwickelt wird. Das sture Einsetzen in fertige Formeln kann dann später folgen (aus Bequemlichkeit und Zeitökonomie). Und auch zu sehen und zu erkennen, dass man durchaus auch zur richtigen Lösung kommt, wenn man die Anzahl von Möglichkeiten richtig bestimmt, kann nur von Vorteil sein.
Abgesehen davon hab ich auch hier im Forum nur allzu oft gesehen, dass einem Fragesteller irgend eine Formel oder ein bestimmter Weg als allein glückselig machende Lösung aufgezwungen wurde und der eigene Ansatz des Fragestellers völlig ignoriert wurde (so wie hier von dir), obwohl der gar nicht so übel war und nur vl einen kleinen Fehler (wie hier der fehlende Faktor

30)

enthalten hat. Und der Fragesteller geht dann hier weg, zwar mit einer richtigen Lösung und aber auch mit der Überzeugung, selbst gar nichts auf die Reihe zu bringen und komplett am Holzweg gewesen zu sein, obwohl das aber ganz und gar nicht stimmt - schade und demotivierend.

>

Und das ist etwas ANDERES!

>

Willst du uns mal die Original-Aufgabenstellung vor Augen führen?
Besser, nicht nur selbst viel zu schreiben und von anderen erwarten, dass sie sich die Zeit nehmen, dass alles durchzuackern, sondern das Geschreibe von anderen selbst auch in Ruhe gründlich durchlesen. ;-)
Wie in der Frage deutlich zu erkennen ist, besteht die Aufgabe aus drei Teilaufgaben. Die erste ist hier von uns bereits gelöst worden. Was du ansprichst ist die zweite und die dritte scheint dir noch gar nicht aufgefallen zu sein ;-)
Drum schreibt Marie1278 ja auch "Ich wollte zunächst einmal die Wahrscheinlichkeit dafür ausrechnen 3 mal einen Pasch bei 4 Würden zu werfen."
Sie fängt also vernünftigerweise mit der ersten Teilaufgabe an und wird sich danach die anderen vornehmen und wieder hier fragen, wenn Sie auf Schwierigkeiten stößt. Und hoffentlich wird sie dann auch wieder ihre eigenen Überlegung zur Aufgabe mitteilen - da waren ja bei der ersten Teilaufgabe gar nicht so übel.

Aber da du es ja so furchtbar gern durchnummeriert hast (vermutlich meinst du fälschlicherweise, dass das etwas mit Struktur zu tun hätte, wenn man Absätze mit Zahlen oder Buchstaben versieht):

1)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt genau 3-mal Pasch fällt?

2)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass insgesamt genau 3-mal Pasch fällt,
wenn bekannt ist, dass mindestens einmal Pasch dabei war?

3)

Angenommen, Pasch fällt insgesamt genau 3-mal, mit welcher Wahrscheinlichkeit waren dann diese drei Pasch-Würfe hintereinander?

So wie Marie die Frage gestellt hat, könnte man fast dein Eindruck gewinnen, dass nur die Fragen

2)

und

3)

in der Originalaufgabe gestellt sind und sie sich Frage

1)

selbst gestellt hat, um durch die Vereinfachung mehr Klarheit und Sicherheit zu bekommen (wäre ja keine so dumme Idee). Da ihr aber auch zu

1)

eine richtige Musterlösung zur Verfügungs steht, könnte diese Frage auch tatsächlich Teil der Originalaufgabe sein.
Jedenfalls sind jetzt noch zwei Teilfragen zu beantworten.

anonymous

14:45 Uhr, 31.03.2018

Hallo Roman
Du fällst mir nicht zum ersten Mal auf, dass du meinen Beiträge in irgend einer mir schwer verständlichen fast schon paranoiden Art abweisend begegnest.

Ich habe meinen Beitrag nochmals durchgelesen und ein Mittagessen lang sacken lassen.
Ich bleibe der Ansicht, dass Sätze wie

>

"Darf ich ergänzen"

>

"Und die Formel dafür hast du in deiner Lösung schon benannt."

>

"In deinem Fall:..."

>

"... hast du schon..."

>

"Ich denke, wir sind uns einig"

>

"Der Lösung sind wir nun schon nahe gekommen"
eher bestätigen, verbinden, zusammenführen, als wegschicken oder überzeugen, "selbst gar nichts auf die Reihe zu bringen und komplett am Holzweg gewesen zu sein" oder demotivieren.

Ich jedenfalls bin guten Gewissens, nicht abweisend gesinnt gewesen zu sein, sondern wirklich zu ergänzen, zusammenzufassen und zu unterstützen in Absicht genommen zu haben. Insbesondere meine ich nach wie vor gut formuliert und abgegrenzt zu haben:

a)

bestätigend, die Wahrscheinlichkeit, wenn wir mit zwei Würfeln 4-mal würfeln, genau 3-mal einen Pasch zu würfeln, beträgt:

p = 4 \cdot (. .

b)

abgrenzend, die Teilaufgabe mit "..., wenn bekannt ist, dass mindestens einmal Pasch dabei war?"

Keiner von uns ist perfekt.
Dennoch fällt nicht zum ersten Mal auf, dass du meinen Beiträgen irgend eine besonders kritische Abneigung gegenüber bringst. Schon öfters spielst du die Rolle meines Aufpassers, der meine Worte zerpflückt, wenn nur irgend ein Komma ein klein wenig schief geraten ist.
Ich bin eigentlich nach wie vor der Meinung, dass sowohl deine wie auch meine Beiträge überdurchschnittliches Niveau haben und gute Hilfe bieten
- solange wir uns nicht gegenseitig in die Parade fahren.
Du scheinst irgend einen Kleinkrieg führen zu wollen. Das schwächt sowohl dich wie mich.

Idee des onlinemathe-Forums ist, sich zu unterstützen. Über die Art und Weise kann man unterschiedlicher Meinung sein und beweisen viele Gemüter und 'Supporter' eine große Vielfalt an Stilen, Ironien und didaktischem (Teil-) Geschick.
Ich bin selbst einer, der schon gelegentlich anderen auf die Finger gekopft hat, wenn mich deren Stil allzusehr gestört hat. Dennoch gilt: Leben und Leben lassen.
Dein Stil ist genauso wenig der allein-seelig-machende, wie mein Stil.

Frohe Ostern!

Roman-22

21:12 Uhr, 31.03.2018

Ohje, ohje! Da reagiert aber jemand sehr sensibel.

Wenn du dich verletzt fühlst, dann bedauere ich das. Hätte ich geahnt, wie du auf Kritik reagierst, hätte ich mir nicht so viel Zeit genommen, detaillierter zu erklären, wo ich die Probleme sehe und warum. Die Kritik selbst hätte ich dir vermutlich nicht ersparen können, weil ich es eben wirklich sehr schlecht finde, wenn man die Lösungsansätze eines Fragestellers in seiner Erstantwort so völlig ignoriert und übergeht (noch dazu, wenn sie an sich durchaus richtig ud zielführend sind). Wie soll der Fragesteller da denn nicht den Eindruck gewinnen, seine Ansätzen wären falsch oder nicht zielführend? Daran ändern doch auch ein paar in die Antwort eingestreute Formulierungen mit einem jovialen "wir" nichts, die sich ja doch nur auf den von dir präsentierten Weg beziehen.
Den Kleinkrieg und die Paranoia kannst vielleicht du erkennen (was sagt das aus?), meine Sicht der Dinge ist das definitiv nicht. Meine Schuld liegt eher darin, dich offenbar falsch eingeschätzt zu haben. Wie gesagt, hätte ich geahnt, dass du dich offenbar aggressiv angegriffen fühlst und nur mit krampfhafter Verteidigung reagierst, hätte ich mir nicht die Mühe gemacht.

Ich schätze dich durchaus als kompetenten Antwortgeber hier im Forum und deinen Stil hab ich als solchen auch nicht kristisiert und auch den meinen ganz sicher nicht als den allein-seelig machenden gehalten. Falls es dich aber verletzt hat, dass ich mich in einem Nebensatz ein wenig über deine krampfhaften Nummerierungen mokiert habe, weil sie mich manchmal amüsieren, so stehe ich nicht an, mich dafür zu entschuldigen.

Ich hoffe, dass dir klar wird, worum es mir im Kern bei der Kritik ging und wünsche auch dir (und allen Mitlesern) ein Frohes Osterfest.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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