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Peano-Axiome und Rechengesetze

Schüler Abendgymnasium,

Tags: Beweis durch vollständig Induktion, Distributivgesetz, Peano-Axiome

kuddel123 aktiv_icon

00:04 Uhr, 26.01.2016

Hallo,

ich habe unten die Peano-Axiome gepostet. Außerdem darf das Assoziativ- und Kommunitativgesetz als bewiesen vorausgesetzt werden. Bitte überprüft den Beweis und beantwortet mir die danach gestellte Frage.

Zu zeigen ist also durch Vollständige Induktion in

ℕ_{0} :

(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c

Ich habe den Beweis durch Induktion über

c

geführt.
Induktionsverankerung:
(a

+ b) \cdot 0 = 0

wegen

b_{1})

und

a \cdot 0 + b \cdot 0 = 0 + 0 = 0

wegen

b_{1})

und

a_{1}) (s

. unten)

\Rightarrow (a + b) \cdot 0 = a \cdot 0 + b \cdot 0

Induktionsvoraussetzung:

(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c

Induktionsbehauptung:

(a + b) \cdot c' = a \cdot c' + b \cdot c'

Induktionsbeweis: Wegen

b_{2})

gilt

(a + b) \cdot c' = ((a + b) \cdot c) + (a + b)

= (a \cdot c + b \cdot c) + (a + b) = (a \cdot c + a) + (b \cdot c + b) = a \cdot c' + b \cdot c'

Meine Frage: Ist der Beweis vollständig oder muss ich auch noch

(a' + b) \cdot c = a' \cdot b + a' \cdot c

beweisen, also die Induktion über a durchführen?

Kuddel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Rechnen mit Klammern
Terme vereinfachen - Fortgeschritten

oculus aktiv_icon

12:36 Uhr, 27.01.2016

Hallo, Kuddel,
ich würde mir erst einmal das Induktionsaxiom 5 für deinen Fall verständlich machen. Es bedeutet doch – wenn ich

c

durch

n

ersetze:
Die Teilmenge

X \subset ℕ_{0}

ist definiert als

{n \in ℕ_{0} | a, b \in ℕ_{0}

und

(a + b) \cdot n = a \cdot n + b \cdot n}

.
Wenn diese die Zugehörigkeit zur Teilmenge

X

definierende Eigenschaft
„a,b in

ℕ_{0}

und

(a + b) \cdot n = a \cdot c + b \cdot n

„
für

n = 0

erfüllt ist und man beweisen kann, dass aus der Annahme ihrer Gültigkeit für

n

auch die von n‘

(= n + 1,

falls man 1 schon als 0‘ definiert hat) folgen wird, so hat man nach Axiom 5 die Gültigkeit für alle

n \in N_{0}

bewiesen,

d . h

. man hat bewiesen, dass

X = ℕ_{0}

ist.
Deine Beweisführung zum distributiven Gesetz in

ℕ_{0}

ist nach meiner Meinung nicht zu beanstanden und braucht keine Ergänzung.
Natürlich kannst du den Beweis auch dadurch führen, dass du a oder

b

statt

c

als

n

(im Sinne des Axioms) interpretierst.
Interessieren würde mich hier aber auch die Meinung anderer Mitglieder des Forums.

oculus

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