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Perihel-Präzession

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Tags: Serien, Taylor Serien

TieuHan aktiv_icon

10:23 Uhr, 14.04.2024

Um die Formel auf dieser Seite nutzen zu können muss ich verstehen wie die Summen hier weitergehen:

farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/Newton/node115.html

Bei der ersten Gleichung weiss ich dass es sich um Legendre-Polynome handelt, wie man hier sehen kann:

farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/Newton/node114.html

Die verschiedenen Terme kann man praktisch in der Tabelle hier ablesen:

en.wikipedia.org/wiki/Legendre_polynomials

Also unter "Rodrigues' formula and other explicit formulas". Hierbei gilt immer

x = 0

.

Nun, beim ersten Schritt komme ich noch mit. Es wird differenziert, und dabei kann man die ersten beiden Zähler als 1×2+1=3 und 9×4+9=45 berechnen. Bei der zweiten Summe ändern sich die Nenner, und da berechnet man bei den ersten beiden Termen 4÷2=2 und 64÷4=16.

Beim nächsten Schritt bin ich aber auch schon mit meinem Latein am Ende.

MfG,
Tieu Han.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

HAL9000

11:20 Uhr, 17.04.2024

Ok, es wird nach

R_{i}

differenziert, wo genau ist jetzt das Problem? Ich würde die Funktion erstmal so schreiben, dass die

R_{i}

-Potenzen in den Summen klar erkennbar sind:

Φ (R_{i}) = - \frac{G M_{i}}{R_{i}} - G \sum_{j < i} M_{j} [R_{i}^{- 1} + \frac{1}{4} R_{j}^{2} R_{i}^{- 3} + \frac{9}{64} R_{j}^{4} R_{i}^{- 5} + \dots]

- G \sum_{j > i} M_{j} [R_{j}^{- 1} + \frac{1}{4} R_{i}^{2} R_{j}^{- 3} + \frac{9}{64} R_{i}^{4} R_{j}^{- 5} + \dots]

Nun einfach nach

R_{i}

ableiten und das Vorzeichen drehen:

f (R_{i}) = - \frac{d Φ (R_{i})}{d R_{i}} = - \frac{G M_{i}}{R_{i}^{2}} + G \sum_{j < i} M_{j} [(- 1) R_{i}^{- 2} + \frac{1}{4} \cdot (- 3) R_{j}^{2} R_{i}^{- 4} + \frac{9}{64} \cdot (- 5) R_{j}^{4} R_{i}^{- 6} + \dots]

+ G \sum_{j > i} M_{j} [0 + \frac{1}{4} \cdot 2 R_{i}^{1} R_{j}^{- 3} + \frac{9}{64} \cdot 4 R_{i}^{3} R_{j}^{- 5} + \dots]

Die Zahlenwerte kann man nun noch zusammenfassen bzw. bei der ersten Summe das Vorzeichen rausziehen:

f (R_{i}) = - \frac{G M_{i}}{R_{i}^{2}} - G \sum_{j < i} M_{j} [R_{i}^{- 2} + \frac{3}{4} R_{j}^{2} R_{i}^{- 4} + \frac{45}{64} R_{j}^{4} R_{i}^{- 6} + \dots]

+ G \sum_{j > i} M_{j} [\frac{1}{2} R_{i}^{1} R_{j}^{- 3} + \frac{9}{16} R_{i}^{3} R_{j}^{- 5} + \dots]

Nun, im nächsten Schritt wird erneut nach

R_{i}

abgeleitet, nun denn:

f ´ (R_{i}) = \frac{2 G M_{i}}{R_{i}^{3}} - G \sum_{j < i} M_{j} [- 2 R_{i}^{- 3} - \frac{3}{4} \cdot 4 R_{j}^{2} R_{i}^{- 5} - \frac{45}{64} \cdot 6 R_{j}^{4} R_{i}^{- 7} + \dots]

+ G \sum_{j > i} M_{j} [\frac{1}{2} R_{j}^{- 3} + \frac{9}{16} \cdot 3 R_{i}^{2} R_{j}^{- 5} + \dots]

,

dann mit

R_{i}

multiplizieren und wieder zusammenfassen

R_{i} f ´ (R_{i}) = \frac{2 G M_{i}}{R_{i}^{2}} + G \sum_{j < i} M_{j} [2 R_{i}^{- 2} + 3 R_{j}^{2} R_{i}^{- 4} + \frac{135}{32} R_{j}^{4} R_{i}^{- 6} + \dots]

+ G \sum_{j > i} M_{j} [\frac{1}{2} R_{i} R_{j}^{- 3} + \frac{27}{16} R_{i}^{3} R_{j}^{- 5} + \dots]

.

Dass man nun jeweils noch irgendwelche

\frac{1}{R_{i}^{2}}

rausziehen kann und dann auch

R_{j}^{k} R_{i}^{- k} = {(\frac{R_{j}}{R_{i}})}^{k}

u.ä. nach Potenzregeln zusammenfassen kann, sollte klar sein.

TieuHan aktiv_icon

06:49 Uhr, 29.04.2024

Danke für deine Antwort Hal9000.

Allerdings hat es mir deine Darstellung mit den Hochzahlen nicht viel geholfen. Im Endeffekt muss ich hauptsächlich wissen wie die Reihen weitergehen. Du bist gar nicht darauf eingegangen dass es sich um Legendre-Polynome handelt. Das ist ja hier die Hauptschwierigkeit. Vor allem deshalb weil diese Unendliche Reihe auch noch auf viele Weisen manipuliert wird.

Für die ersten

10

Terme sollte das

1 + 0.25 + 0.140625 + 0.09765625 + 0.07476806640625 + 0.0605621337890625

sein. Da jeder zweite Term Null ist, sieht das hier nach weniger aus. Wenn man GPT fragt, dann geht die Reihe so weiter:

1 + 0.25 + 0.140625 + 0.09765625 + 0.07476806640625 + 0.0605621337890625 + 0.05094623565673828 + 0.043937206745147705 + 0.038665857315301895 + 0.03459587541246414 + 0.03139975036680603 + 0.02886126445221901 + 0.02683016737712288 + 0.025198837843179703 + 0.023885278368015766 + 0.02283021948368591 + 0.02198844254522419 + 0.02132484277806452 + 0.02081122439316684 + 0.02042527868726929 + 0.020149583842450013 + 0.019970569070418835 + 0.019877303762291168 + 0.019861576853192983 + 0.0199160484956002 + 0.02003560038971813 + 0.02021674609045718 + 0.02045622756983411 + 0.02075176157470968 + 0.02110177861881856 + 0.02150401969328826 + 0.021956205968670216 + 0.0224566548102238 + 0.0230049192201194 + 0.023600476902208266 + 0.02424349110746215 + 0.024934729802514368 + 0.025675465236961836 + 0.02646743846307006 + 0.027312820576135373 + 0.028214192595568975 + 0.02917437810403501 + 0.030196421899388134 + 0.03128355613824154 + 0.03243918728663106 + 0.03366689832805355 + 0.03497046788375199 + 0.03635488478959293 + 0.03782535338339814

Nach der Differenzierung ändert sich das Legendre-Polynom zu:

1 + 0,75 + 0,703125 + 0,68359375 + 0,67291259765625 + 0,6661834716796875 + . .

.

für die Planeten vor dem i-ten Planeten und zu

0 + 0,25 + 0,5625 + 0,5859375 + 0,59814453125 + 0,605621337890625 +

…

für die Planeten nach dem i't-Planeten.

GPT setzt das dann folgendermaßen fort (die ersten

10

Terme hab ich selber berechnet, anhand des Wiki-Artikels):

Für die Planeten vor dem i-ten Planeten:

1 + 0.75 + 0.703125 + 0.68359375 + 0.67291259765625 + 0.6661834716796875 + 0.6614816188812256 + 0.6583051388156414 + 0.6562072588854693 + 0.6548252091027027 + 0.6539104745158319 + 0.6532940858056252 + 0.6528582315043046 + 0.6525281528866292 + 0.6522593094440851 + 0.652022106430971 + 0.651796907894838 + 0.6515680797118152 + 0.6513254264450131 + 0.6510611001090992 + 0.6507682327395575 + 0.6504391022762835 + 0.6500655812197364 + 0.6496383920457318 + 0.6491456839390091 + 0.6485733566772638 + 0.6479041814239154 + 0.6471168066987636 + 0.6461853180713479 + 0.6450803810381186 + 0.6437672423205025 + 0.6422053319434717 + 0.6403473371564702 + 0.6381408905122807 + 0.6355244439664498 + 0.6324275013471054 + 0.6287699965818259 + 0.6244603659134789 + 0.6193983682746425 + 0.6134682792873444 + 0.6065362465816954 + 0.5984477308561904 + 0.5889942236503275 + 0.5779202645865547 + 0.5649120028671468 + 0.5495901929403422 + 0.5314969367104638 + 0.5100823244235846 + 0.4846610331339165 + 0.4543468915446327

Für die Planeten nach dem i-ten Planeten:

0 + 0.25 + 0.5625 + 0.5859375 + 0.59814453125 + 0.605621337890625 + 0.6107444763183594 + 0.614317357301712 + 0.6170020184512135 + 0.6191590359734102 + 0.6209990899314498 + 0.6226449273701749 + 0.6241660559554854 + 0.6256066343832755 + 0.6270002719187583 + 0.6283670081940068 + 0.6297202567240582 + 0.6310682805540636 + 0.6324155960911234 + 0.6337642909456124 + 0.6351155345758769 + 0.6364700075312367 + 0.6378281806153126 + 0.6391903758169044 + 0.6405567877194334 + 0.6419275400121045 + 0.6433026950098633 + 0.644682288507259 + 0.6460663469053276 + 0.6474548921781285 + 0.6488479423485274 + 0.650245511669521 + 0.6516476117356191 + 0.6530542544813879 + 0.6544654516342046 + 0.6558812145210756 + 0.6573015531868823 + 0.6587264764027053 + 0.6601569916843454 + 0.6615931053512715 + 0.6630348225348662 + 0.6644821482012351 + 0.6659350861925174 + 0.6673936402409844 + 0.6688578131808186 + 0.6703276079855316 + 0.6718030278511862 + 0.6732840751987283

Im nächsten Schritt wird noch einmal differenziert und dann der gesamte Ausdruck mit der mittleren Entfernung

R_{i}

des i-ten Planeten multipliziert. Die Reihe verwandelt sich dadurch in

2 + 3 + \frac{135}{32} + . .

. für die Planeten vor dem i-ten Planeten und in

\frac{1}{2} + \frac{27}{16} + . .

. für die Planeten nach dem i-ten Planeten.

GPT behauptet dann das das ganze so aussehen wird:

Für die Planeten vor dem i-ten Planeten:

2 + 3 + 4.21875 + 5.015625 + 5.341796875 + 5.44091796875 + 5.4612121582 + 5.46685218811 + 5.46886968613 + 5.46949748993 + 5.46979660533 + 5.46991313636 + 5.46995621191 + 5.46997247612 + 5.46997997412 + 5.46998343796 + 5.46998507083 + 5.4699858865 + 5.46998625355 + 5.46998642528 + 5.46998648777 + 5.46998651036 + 5.46998651984 + 5.46998652372 + 5.46998652528 + 5.469986526 + 5.46998652633 + 5.46998652648 + 5.46998652654 + 5.46998652657 + 5.46998652658 + 5.46998652659 + 5.46998652659 + 5.46998652659 + 5.46998652659 + 5.46998652659 + 5.46998652659 + 5.46998652659 + 5.46998652659 + 5.46998652659 + 5.46998652659 + 5.46998652659 + 5.46998652659 + 5.46998652659 + 5.46998652659 + 5.46998652659 + 5.46998652659

Für die Planeten nach dem i-ten Planeten:

0.5 + 1.6875 + 2.25 + 2.6484375 + 2.80322265625 + 2.86254882812 + 2.88394069672 + 2.89123535156 + 2.89474487305 + 2.89611053467 + 2.89692700863 + 2.89730268288 + 2.89748764038 + 2.89757418633 + 2.89761781639 + 2.89764068031 + 2.89765212589 + 2.89765787117 + 2.89766075256 + 2.89766219393 + 2.89766291739 + 2.8976632782 + 2.89766345882 + 2.89766354915 + 2.89766359425 + 2.89766361738 + 2.89766362894 + 2.89766363472 + 2.89766363761 + 2.89766363905 + 2.89766363977 + 2.89766364013 + 2.89766364031 + 2.8976636404 + 2.89766364044 + 2.89766364046 + 2.89766364047 + 2.89766364048 + 2.89766364048 + 2.89766364048 + 2.89766364048 + 2.89766364048 + 2.89766364048

Hier sehen wir dass die Werte jeweils auf

5.46998652659

und

2.89766364048

konvergieren.

Im letzten Schritt wird der erhaltene Ausdruck durch

f (R_{i})

dividiert, „3“ hinzugefügt und dann ein Exponent von minus

\frac{1}{2}

angewendet. Die Reihe verwandelt sich dadurch in

1 + \frac{15}{8} + \frac{175}{64} + . .

. für alle Planeten.

GPT schafft den letzten Schritt nicht. Ich weiss also nicht wie die Reihe hier weitergeht.

Im Endeffekt muss ich nur wissen wie die Reihe ganz unten weiter geht, aber damit hab ich Schwierigkeiten.

Mit freundlichen Grüßen,
Tieu Han.

HAL9000

08:29 Uhr, 29.04.2024

> Im Endeffekt muss ich hauptsächlich wissen wie die Reihen weitergehen.

Dann hättest du das

1) oben auch sagen sollen, und

2) besser auch auf die Seite verwiesen, wo der Ursprung dieser Formel herkommt.
Denn auf der von dir verlinkten Seite gab es nun mal nur diese Formeln versehen mit "Pünktchen" ...

Gut, dann nochmal denselben Beitrag mit Summen statt Pünktchen (hättest du gleich haben können).

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Φ (R_{i}) = - \frac{G M_{i}}{R_{i}} - G \sum_{j < i} M_{j} \sum_{k = 0}^{\infty} a_{2 k}^{2} R_{j}^{2 k} R_{i}^{- 2 k - 1} - G \sum_{j > i} M_{j} \sum_{k = 0}^{\infty} a_{2 k}^{2} R_{i}^{2 k} R_{j}^{- 2 k - 1}

,

dabei ist

a_{2 k} = \frac{{(- 1)}^{k}}{2^{2 k}} (\begin{array}{c} 2 k \\ k \end{array})

. Nun einfach nach

R_{i}

ableiten und das Vorzeichen drehen:

f (R_{i}) = - \frac{d Φ (R_{i})}{d R_{i}} = - \frac{G M_{i}}{R_{i}^{2}} - G \sum_{j < i} M_{j} \sum_{k = 0}^{\infty} (2 k + 1) a_{2 k}^{2} R_{j}^{2 k} R_{i}^{- 2 k - 2} + G \sum_{j > i} M_{j} \sum_{k = 0}^{\infty} 2 k a_{2 k}^{2} R_{i}^{2 k - 1} R_{j}^{- 2 k - 1}

,

Nun, im nächsten Schritt wird erneut nach

R_{i}

abgeleitet, nun denn:

f ´ (R_{i}) = \frac{2 G M_{i}}{R_{i}^{3}} + G \sum_{j < i} M_{j} \sum_{k = 0}^{\infty} (2 k + 1) (2 k + 2) a_{2 k}^{2} R_{j}^{2 k} R_{i}^{- 2 k - 3} + G \sum_{j > i} M_{j} \sum_{k = 0}^{\infty} 2 k (2 k - 1) a_{2 k}^{2} R_{i}^{2 k - 2} R_{j}^{- 2 k - 1}

,

dann mit

R_{i}

multiplizieren und wieder zusammenfassen

R_{i} f ´ (R_{i}) = \frac{2 G M_{i}}{R_{i}^{2}} + G \sum_{j < i} M_{j} \sum_{k = 0}^{\infty} (2 k + 1) (2 k + 2) a_{2 k}^{2} R_{j}^{2 k} R_{i}^{- 2 k - 2} + G \sum_{j > i} M_{j} \sum_{k = 0}^{\infty} 2 k (2 k - 1) a_{2 k}^{2} R_{i}^{2 k - 1} R_{j}^{- 2 k - 1}

,

Dass man nun jeweils noch irgendwelche

\frac{1}{R_{i}^{2}}

rausziehen kann und dann auch

R_{j}^{k} R_{i}^{- k} = {(\frac{R_{j}}{R_{i}})}^{k}

u.ä. nach Potenzregeln zusammenfassen kann, sollte klar sein.

> Allerdings hat es mir deine Darstellung mit den Hochzahlen nicht viel geholfen.

Das mag deine Meinung sein, mit der ich nicht übereinstimme.
Immerhin macht es die Sache übersichtlicher und führt zum Ziel.

HAL9000

08:33 Uhr, 29.04.2024

Ich sehe gerade noch, dass die hinteren Summen eigentlich erst bei

k = 1

statt bei

k = 0

beginnen.
Aber Faktor 2k macht die Summanden dort ohnehin zu Wert Null.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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