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Periode und Lösungen bestimmen (Trigonometrie)
Schüler Fachschulen, 11. Klassenstufe
Tags: Geometrie
 
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Hi, wir behandeln im Moment das Thema Trigonometrie in der Schule. Nun habe ich noch zwei Fragen an euch, und hoffe, dass Ihr mir helfen könnt. 1. Folgende Aufgabe Gib die Periode von y = cos (5/6x) an. Wie genau löse ich das? Von z.B. cos (2x) wüsste ich, das die Periode Pi ist. Aber nur durch schauen auf meinem GTR. 2.Entscheide mit Hilfe des GTR, wie viele Lösungen die Gleichung cos(2x) = 1 für x e [0; 2Pi] besitzt. Gib diese Lösungen mit entsprechender Rechnung in exakter Schreibweie an. Ich habe also erst einmal die Gleichung in meinen GTR eingegeben und gesehen, das es vier Schnittstellen gibt. Also muss es vier Lösungen geben. Dann habe ich in meiner Wertetabelle geschaut, was x bei cos = 1 ist. x ist 0. Also ist 2x = 0... x1=0 Aber wie rechne ich die anderen 3 Lösungen aus? Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand hilft. Schöne Grüße, Marc |
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Hallo, zu 1. Dies ist eine mögliche Aufgabe aus der Kathegorie: "Wie wirken sich (konstante) Parameter auf den Funktionsverlauf aus". Bei den Funktionen Sinus und Kosinus sehen die allgemeinen Gleichungen so aus: a*sin(b*x+c)+d bzw. a*cos(b*x+c)+d Für beide Funktionen gilt ("von außen nach innen", "am weitesten von x entfernt" anfangen und "immer näher an das x heran"): d ist eine Verschiebung in y-Richtung (d>0: "nach oben", d<0: "nach unten"; Wertebereichsverschiebung), d.h. da üblicherweise Maximalwert = -Minimalwert ist, ist nun Maximalwert-d = -(Minimalwert-d) bzw. Maximalwert-2*d = -Minimalwert a ist eine Streckung (|a|>1) bzw. Stauchung (|a|<1) in y-Richtung (Wertebereichserweiterung bzw. Wertebereichverkleinerung) und eventuell eine Spiegelung (a<0) an der x-Achse (Spiegelung kann man in einer Formel mit vorgeben, um einen Graphen zeichnen oder Werte berechnen zu lassen. Wenn man aus einem gegebenen Graphen bzw. aus den Werten für Null-, Maximal- und Minimalstellen diesen Wert ermitteln soll, nimmt man stets einen positiven Wert! Die "Spiegelung" ist eigentlich nichts weiter als eine Verschiebung in x-Richtung mit einer halben Periode! Es macht sich einfacher, die "Spiegelung" über die Verschiebung zu berücksichtigen). c ist die eben angesprochene Verschiebung in negativer x-Richtung (c>0: "nach links", c<0: "nach rechts") b ist eine Streckung (|b|<1) bzw. Stauchung (|b|>1) in negativer x-Richtung (Periodenverlängerung bzw. Periodenverkürzung auf (2*pi)/|b|) und eine eventuelle Spiegelung (b<0) an der y-Achse (Spiegelung kann man in einer Formel mit vorgeben, um einen Graphen zeichnen oder Werte berechnen zu lassen. Wenn man aus einem gegebenen Graphen bzw. aus den Werten für Null-, Maximal- und Minimalstellen diesen Wert ermitteln soll, nimmt man stets einen positiven Wert! Die "Spiegelung" ist eigentlich nichts weiter als eine Verschiebung in negativer x-Richtung! Der Wert, um den verschoben wird, ergibt sich als das doppelte der betragsmäßig kleinsten Extremstelle. Das kann man sich mal an einigen selbsgemachten Bildchen verdeutlichen, ist aber eher theoretischer Natur, denn wie gesagt: Es macht sich einfacher, die "Spiegelung" über die Verschiebung zu berücksichtigen oder mit anderen Worten: Niemals aus vorgegebenen Graphen oder Werten ein negatives b ermitteln wollen!). Die paar Dinge solltest Du verstehen, dann brauchst Du sie Dir nicht zu merken! Zu Deinem Problem: cos(2*x) --> a=1, b=2, c=0, d=0 --> Periode (2*pi)/|b| = (2*pi)/|2| =(2*pi)/2 = pi cos(5/6*x) --> a=1, b=5/6, c=0, d=0 --> Periode (2*pi)/|b| = (2*pi)/|5/6| =(2*pi)/(5/6) = 2*pi*6/5 = 12/5*pi = 2,4*pi zu 2. Ohne einen GTR zu benutzen, sage ich Dir, daß Deine 4 nicht stimmen können. Der Wert des Kosinus ist gleich 1 an den Maximalstellen. Davon gibt es innerhalb eines halboffenen Intervalls von der Länge einer Periode genau eine! Dein Intervall setzt sich aus 3 Abschnitten zusammen: Erstens: [0; pi) Zweitens: [pi; 2*pi) Drittens: die Stelle 2*pi selbst Bei erstens und zweitens handelt es sich um halboffene Intervalle mit der Länge einer Periode (Länge ist wie unter 1. ermittelt pi), also gibt es dort jeweils genau eine Maximalstelle. Für drittens ergibt sich ebenfalls der Wert 1, d.h. Dein geschlossenes Intervall enthält 3 Lösungen und nicht 4! Wie man das rechnerisch macht? Eigentlich ganz einfach: cos(2*x) = 1 gdw. es für 2*x ein k ele Z (ganze Zahlen) gibt, so daß 2*x = k*2*pi (allg. Lösung der Kosinusfunktion cos(x)) gilt. Ermitteln wir alle x aus dem Intervall, für die ein solches k existiert: 2*x = k*2*pi und 0<=x und x<=2*pi x = k*pi und 0<=x und x<=2*pi --> 0<=k*pi und k*pi<=2*pi (beide Ungleichungen durch pi geteilt) --> 0<=k und k<=2 (zur Erinnerung: k ele Z) --> k ele {0; 1; 2} Die dazugehörigen x sind also (zur Erinnerung x=k*pi): x ele {0*pi; 1*pi; 2*pi} bzw. besser x ele {0; pi; 2*pi} Die rechnerische Lösung stimmt mit meiner theoretischen Lösung über die Anzahl der Lösungen überein. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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