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Periode von cos(x)*cos(x)

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Winkelfunktion

Alllowd aktiv_icon

00:46 Uhr, 21.10.2019

Hallo,

bin über eine Aufgabe gestoßen, bei der man die Periode von

y = 1 - {sin}^{2} (x)

bestimmen soll. Zunächst lässt sich

y = 1 - {sin}^{2} (x)

ja mit Hilfe des Additionstheoremes

{sin}^{2} + {cos}^{2} = 1

auf

y = {cos}^{2} (x)

bringen.
Leider komme ich hier nicht weiter. Ich weiß zwar, das die Periode

π

ist, aber wie kann man das rechnerisch zeigen?

Vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Roman-22

03:20 Uhr, 21.10.2019

Die Beziehung

{sin}^{2} x + {cos}^{2} x = 1

nennt man nicht Additionstheorem. Oft hört man dafür die Bezeichnung "Trigonometrischer Pythagoras".
Allerdings ist Additionstheorem ein gutes Stichwort, ganz speziell jenes für doppelte Winkel

\to cos (2 x) = {cos}^{2} x - {sin}^{2} x

.
Da kannst du nun mithilfe des "Trigonometrischen Pythagoras" wahlweise

{sin}^{2} x

oder

{cos}^{2} x

ersetzen und kommst auf

cos (2 x) = 2 {cos}^{2} x - 1

bzw.

cos (2 x) = 1 - 2 {sin}^{2} x

.
Löst du nun diese Gleichungen entsprechend auf, erhältst du

{sin}^{2} x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} cos (2 x)

bzw.

{cos}^{2} x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 x)

woraus die kleinste Periode

π

ja sofort ersichtlich ist.

Alllowd aktiv_icon

20:54 Uhr, 21.10.2019

Sehr gute Erklärung. Vielen Dank :-)

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