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Perioden von Dezimalbrüchen
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Sonstiges
 
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Aufgabe In einem Schulbuch für das 6. Schuljahr1 findet sich unter der Überschrift „zum Knobeln“ die folgende Aufgabe: „Bestimme nacheinander die Periode von 1/17; 10/17; 15/17; 14/17; 4/17; 6/17; 9/17; 5/17; 16/17; 7/17. Für diese Aufgabe brauchst du Ausdauer, aber vielleicht findest du schon sehr bald eine Regel. Schau dir die Perioden genau an.“ a) Bearbeiten Sie diese Aufgabe. b) Begründen Sie das von ihnen in a) gefundene Muster. c) Welche didaktischen Aufgaben erfüllt diese Aufgabe? Begründen Sie Ihre Aussagen. Hinweis: Die Aufgabe macht nur Sinn, wenn Sie die Divisionen von Hand ausführen. Überlegen Sie sich, wie Sie Ihre Rechenarbeit reduzieren können. a) ist ja klar. ich habe ein 1/17 und 10/17 brauchte ich garnicht, da es sich nur um ein Kommastelle verändert. Ansonsten finde ich kein Muster. Aber schreibe gerade alle Perioden untereinander auf um einen Muster zu finden. b)und c) muss ich noch mfg ALso: Hallo, Die Bruchfolge 1/17, 10/17, 100/17, 1000/17,10000/17, 100000/17, 1000000/17.... haben die selben Perioden, das Komma ist nur jeweils um eine Stelle verrutscht. Nun ist 100/17=5 + 15/17, also erhält man die Periode von 15/17 durch die Verschiebung der Periode von 10/17 um eine Stelle. Das Zehnfache davon, also 1000/17, ist 58+ 14/17 usw. Somit erhält man nach und nach für sämtliche Zähler zwischen 1 und 16 die Perioden durch je eine Kommaverschiebung. Die Zahlen, die vor dem Komma sind werden einfach hinten angehängt. Lösung müsste doch noch einfacher sein oder? Ein Sechstklässler kann doch sowas noch nicht oder? |
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Hallo,
in einer Periode wiederholen sich die Ziffern immer wieder, unendlich oft. Das liegt daran, dass bei der Division durch an keiner Stelle der Rest Null bleibt, sondern dass immer ein Rest von 1 bis bleibt. Sobald sich, wenn man in der Phase ist, bei der nur noch Nullen "runtergezogen" werden können, ein Rest wiederholt, so steht im Ergebnis die selbe Ziffer und es bleibt der selbe Rest. Damit kann eine Periode niemals länger sein als denn es gibt ja nur von Null verschiedene Reste. Sollte (ich habe es für die nicht nachgerechnet) eine Periodenlänge größer als entstehen, dann müssen sich auch Ziffern wiederholen. Anhand der Ziffer ist also der zugehörige Rest nicht (jedenfalls nicht immer) bestimmt. Wenn jetzt . bei der Division mit ein Rest 4 oder ein Rest 5 bleibt, ist in beiden Fällen die Ziffer im Ergebnis die es bleibt dann aber entweder der Rest 6 oder der Rest (was zwangsläufig zu der folgenden Ziffer 3 oder 9 führt). Umgedreht aber steht im Ergenis nur dann eine wenn zuvor der Rest bei der zugehörigen Division 4 oder 5 gewesen ist. Anhand der 2 und der folgenden Ziffer, die ja 3 oder 9 sein muß, kann man aber den zur 2 gehörigen Rest eindeutig ermitteln. Das funktioniert nicht nur mit der das funktioniert mit allen Zahlen. Finde ich in der Periode von einem einstelligen Divisor eine Ziffer, dann ist diese eindeutig einem Rest zuordbar und damit folgen im Ergebnis immer die selben Ziffern wie in einem anderen Ergebnis. Finde ich in der Periode von einem zweistelligen Divisor ein Paar aufeinanderfolgender Ziffern wieder, dann ist diese Ziffernfolge eindeutig einem Restepaar zuordbar und damit folgen im Ergebnis immer die selben Ziffern wie in einem anderen Ergebnis. Wenn man also berechnet hat, dann muss man von nur die ersten beiden Stellen berechnen, diese Ziffernfolge in suchen und finden und dann alle folgenden Ziffern abschreiben (bei Periodenende von natürlich wieder von vorn anfangen!), bis man wieder zu dem Ziffernpaar im Ergebnis kommt. Das war die zu findende Regel: Nachdem man die Periode kennt, muss man bei der Division durch eine n-stellige Zahl nur "Nachkommastellen" berechnen, um für eine beliebige Division das exakte Ergebnis zu ermitteln. Die Begründung dafür habe ich Dir eben geliefert, das mit dem didaktischen wirst Du sicher selber finden können, |
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Danke hast mir sehr geholfen. mfg |
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Ich erkläre den Schülern zusätzlich noch, dass die Ziffern von und stellengerecht addiert . ergeben müssen. Die Schüler wiederholen dabei das stellengerechte Addieren mit Übertrag. Meistens gelingt das sogar durch Kopfrechnen. Bei und ebenso. . . Man spart also die Hälfte der Rechnungen. :-) Außerdem kann man durch Verdoppeln von erhalten. Oder durch Subtrahieren von . Man übt also wiederum das stellengerechte Addieren und Subtrahieren der entsprechenden Dezimalbrüche. Vor dieser schwierigen Aufgabe mit lasse ich die Schüler diese Rechenschritte jedoch anhand von und im Unterrichtsgespräch erst einmal selbst entdecken. |
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