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Periodische Sondertilgungen zinsberücksichtigt?

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Finanzmathematik

Binary91 aktiv_icon

16:09 Uhr, 31.08.2023

Hallo,

eine Frage zur Tilgungsrechnung:
Wenn unterjährig mit einer Periodizität von beispielsweise 4 (ergo quartalsweise) getilgt wird bei jähriger Verzinsung, dann werden die Zinsen ja anteilig bei jeder periodischen Tilgung berechnet, summiert und am Ende bezahlt.

Beispiel:
Kreditsumme:

10' 000

Jahreszins:

8 %

Tilgung quartalsweise

\to m = 4

Zinszahlung jährig

\to

mi=1
Tilgungsrate pro Quartal:

1' 000

Dann berechnen sich die Zinsen ja wie folgt:

t 1 : 10' 000 \cdot \frac{8}{4} = 200

t 2 : 9' 000 \cdot \frac{8}{4} = 180

t 3 : 8' 000 \cdot \frac{8}{4} = 160

t 4 : 7' 000 \cdot \frac{8}{4} = 140

\to

Am Jahresende werden dann die Zinsen bezahlt:

200 + 180 + 160 + 140 = 680

Angenommen, es wird nun periodisch

1 x

pro Jahr eine Sondertilgung fällig. Wir die bei der unterjährigen Zinsrechnung berücksichtigt oder nicht?
Muss ich dann die Periodizität um 1 erhöhen, quasi:

m = 4 + 1 = 5 \to

Periodenzins

= \frac{8}{5}

und diesen dann anwenden auf die 4 unterjährigen Tilgungen plus die Sondertilgung? Oder wird das nicht berücksichtigt und einfach von der Restschuld abgezogen und somit zwar indirekt berücksichtigt, es wird aber nicht der Periodenzinssatz beeinflusst?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

19:53 Uhr, 31.08.2023

Hallo,

du kannst bei www.zinsen-berechnen.de/hypothekendarlehen/sondertilgung-immobiliendarlehen.php die entsprechenden Zahlungen (Zins+Tilgung) in einer Tabelle anzeigen. Im Bild habe ich ein Beispiel.
Konkretere Fragen wären sinnvoll.

Gruß
pivot

Binary91 aktiv_icon

23:04 Uhr, 31.08.2023

Hi,

danke für Deine Rückmeldung.

Ja genau, diesen Rechner studiere ich jetzt schon lange.

Also, nutzen wir diesen Rechner mit folgendem Setup (siehe auch Screenshot im Anhang):

Grundschuld

S 0 : 100' 000

Nominaler Jahreszins I:

5 %

Tilgungsrate

r : 1' 000

Szenario 1:
T-Periodizität: halbjährig

\to m = 2

Z-Periodizität: vierteljährig

\to z = 4

Wirft man einen Blick in den Tilgungsplan (monatliche Detailansicht), stellt sich heraus, dass der relative Periodenzins

i

wie folgt berechnet wird:

i = \frac{5}{4} = 1,25 %

\to

Es wurde also offenbar durch die Z-Periodizität geteilt.

Szenario 2:
T-Periodizität: vierteljährig

\to m = 4

Z-Periodizität: halbjährig

\to z = 2

Wirft man einen Blick in den Tilgungsplan, stellt sich heraus, dass der Periodenzins

i

identisch ist, ergo:

i = \frac{5}{4} = 1,25 %

\to

Es wurde also offenbar durch die T-Periodizität geteilt.

Ich leite daraus folgende Regel ab:
Periodenzins

i =

I/MAX(m;z)

Ferner zeigt mir der Online-Rechner stets einen effektiven Jahreszins an. Diesen habe ich auch entschlüsselt und folgende Regel abgeleitet:
I eff

= {(1 + \frac{I}{z})}^{z} - 1

Die Formeln scheinen auch für monatliche und ganzjährige Periodizität zu gelten. Da der Online-Rechner keine anderen Periodizität wie bspw. tertialsweise unterstützt, kann ich aber nicht testen, ob diese MAX()-Regelung tatsächlich immer gilt. Für mich ist das unlogisch.

Meine Fragen daher ganz konkret:

1)

Wie lautet die allgemeingültige Formel zur Berechnung des relativen Periodenzins

i

bei unterjähriger Verzinsung und unterjähriger Tilgung mitt ggf. unterschiedlichen Periodizität?

2)

Selbige Frage für den konformen Periodenzins

k

3)

Selbige Frage für den effektiven Jahreszins I eff

4)

Wenn nun noch periodisch Sondertilgungen dazu kommen,

z

. B.

1 x

jährlich, erhöht sich dann die T-Periodizität (was ja ggf. einen Einfluss auf die Periodenzinssätze hätte) oder werden diese Sondertilgungen einfach von der Restschuld abgezogen, ohne dass der reguläre Berechnungsablauf beeinflusst wird, abgesehen von der erniedrigten Restschuld?

Ich finde hierzu leider keine Antworten im Internet, da stets keine vollkommen allgemeingültige Lösung präsentiert wird.

KL700 aktiv_icon

07:12 Uhr, 01.09.2023

Wenn du unterjährig tilgst mit einem festen Betrag, gilt bei

5 % p . a

.

1. relativer Periodenzinssatz:

\frac{0,05}{n}

n =

Anzahl der Perioden

2. konformer Zinssatz:

{(1 + 0,05)}^{\frac{1}{n}}

3. effektiver Zinssatz:

{(1 + \frac{0,05}{n})}^{n} - 1

4. Sondertilgungen werden sofort von der Restschuld abgezogen und verringern den folgenden Zinsaufwand.
Durch Sondertilgungungen verkürzt sich die Laufzeit und der Gesamtzinsaufwand.

Bei deinem Beispiel:

100.000, 5 % p . a

. , fixe Tilgung von

1000

pro Quartal
sinkt der Zinsaufwand jedes Quartal um

1000 \cdot \frac{0,05}{4} = 12,50

Binary91 aktiv_icon

07:43 Uhr, 01.09.2023

Hi,

hast Du meinen Beitrag denn überhaupt gelesen?

Wie bestimmst Du in Deinen Formeln das "n" wenn es eine Periodizität für Tilgung und eine separate Periodizität für Zinsen gibt? Offenbar ist es nicht immer das eine oder das andere, sondern es hängt von der Höhe der Zahl ab.

Bei den Periodizität

1, 2, 4, 12

scheint immer für "n" zu gelten:

n =

MAX(T-Periodizität, Z-Periodizität)

Aber vielleicht liegt es auch nur daran, dass die jeweils höhere Zahl immer sämtliche Perioden der niedrigeren Zahl abdeckt.

Beispielsweise deckt 4 auch alle Perioden von 2 ab (März, Juni, September, Dezember

\to

Decken auch Juni und Dezember ab). Ebenso gilt es für 2 und

1, 12

und 4 etc.

Daher stellt sich unweigerlich die Frage, wie es beispielsweise bei dem Paar

(3; 4)

aussieht? Was, wenn tertialweise getilgt wird und quartalsweise verzinst? Dann nämlich würde die höhere Periodizität nicht mehr sämtliche Monate der niedrigeren abdecken:
März, Juni, September, Dezember

\to

April und Oktober fehlen

Meine Vermutung daher ist, dass man bei verschiedenen Periodizitäten "n" aus der Anzahl an Elementen einer kombinierten Zahlenreihe aus T-Periodizität und Z-Periodizität ohne Redundanzen berechnen muss.
Bei T-Per

= 4

und Z-Per

= 3

wäre das somit:

3, 4, 6, 8, 9, 12

\to n = 6

Gibt es denn hierfür keine Fachliteratur, die dieses Thema aufklärt?

KL700 aktiv_icon

08:49 Uhr, 01.09.2023

"Daher stellt sich unweigerlich die Frage, wie es beispielsweise bei dem Paar

(3; 4)

aussieht? Was, wenn tertialweise getilgt wird und quartalsweise verzinst?"
Ich gehe immer vom Normalfall aus. Du hast die Frage so noch nicht gestellt.

Mir isr das in der Realität oder Aufgaben noch nie begegnet. Getilgt wird gewöhnlich bei jeder Zinszahlung oder am Jahresende, je nach Vertrag.

Zudem ergeben sich Fragen:
Werden die Zinsen bezahlt oder draufgeschlagen

u \cap

bis zur Tilgung mitverzinst?
Du müsstest alle Details genau nennen.

Binary91 aktiv_icon

10:28 Uhr, 01.09.2023

Dann lassen wir das, offenbar kommen wir da nicht weiter.

Dann nochmal zur Sondertilgung:
Wir haben uns darauf geeinigt, dass "n" der Anzahl an unterjährigen Tilgungen entspricht.

Somit ist der relative Periodenzins:

i = \frac{I}{n}

Wenn ich unterjährig quartalsweise tilge, ist

n = 4

.

Wenn ich jährliche Sondertilgungen, beispielsweise jeweils zum

31.10

. des Jahres, vereinbare, ändert sich dann mein

n

und somit auch mein Periodenzins, oder bleibt diese Berechnung völlig unangetastet von der Sondertilgung?

ledum aktiv_icon

12:39 Uhr, 01.09.2023

Hallo
es ist höflich und eigentlich selbstverständlich zu sagen, wenn man Helfer in mehreren Foren bemüht! matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=263372&post_id=1914276
ledum

KL700 aktiv_icon

12:49 Uhr, 01.09.2023

"Dann lassen wir das, offenbar kommen wir da nicht weiter."
Nur wenn du ALLE Details nennst.

"Wenn ich jährliche Sondertilgungen, beispielsweise jeweils zum

31.10

. des Jahres, vereinbare, ändert sich dann mein

n

und somit auch mein Periodenzin"

So ist es oder willst du mehr Zinsen zahlen als zulässig ist?

Binary91 aktiv_icon

19:23 Uhr, 01.09.2023

Ok, das heisst dann beispielsweise bei jähriger Tilgung und jähriger Sondertilgung jeweils zum

30.06 .,

dass sämtliche Berechnungen identisch sind zu einer regulären, halbjährigen Tilgung, abgesehen von der Betragshöhe der Sondertilgung.

Zinsen werden dann auch bei Sondertilgung erhoben und zwar mit dem Faktor

n = 2

(bei obigem Beispiel) und somit

i = \frac{I}{n}

.

Danke für die Info!

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