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Periodizität einer Exponentialfunktion mit Winkelf

Universität / Fachhochschule

Tags: Periodizität einer Exponentialfunktion, trogonometrische Funktion im Exponenten

tompr aktiv_icon

12:55 Uhr, 12.11.2015

Nachdem es für die Summe zweier trigonometrischer Funktionen anscheinend so etwas wie ein "Additionstheorem" gibt - wie "rät" man hier die Periode ?

e^{sin 2 x}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

funke_61 aktiv_icon

13:06 Uhr, 12.11.2015

Hallo,
zuerst Mal könnte man doch die Periode einer Funktion als Abstand zwischen widerkehrenden Maxima (bzw. Minima) betrachten - oder?
Dann wäre doch die erste Ableitung von

f (x) = e^{sin 2 x}

mal sehr interessant . . .
;-)

DrBoogie aktiv_icon

14:22 Uhr, 13.11.2015

"zuerst Mal könnte man doch die Periode einer Funktion als Abstand zwischen widerkehrenden Maxima (bzw. Minima) betrachten - oder"

Wenn man weiß, dass Funktion periodisch - ja.
Aber dass Maxima periodisch sind, bedeutet nicht, dass Funktion selber periodisch ist.

rundblick aktiv_icon

14:23 Uhr, 13.11.2015

e^{sin (2 x)} = e^{sin (2 x + 2 k \cdot π)} ... .

. für

k \in Z

\to

also ?...

.

DrBoogie aktiv_icon

14:23 Uhr, 13.11.2015

Wenn Funktion

f

periodisch mit Periode

T

ist und Funktion

g

monoton, dann hat

g \circ f

offensichtlich auch Periode

T

. Das ist hier der Fall mit

f = \sin (2 x)

und

g (x) = e^{x}

tompr aktiv_icon

14:25 Uhr, 13.11.2015

Abstand zwischen wiederkehrenden Maxima scheint

π

zu sein (geraten)
Abstand zwischen wiederkehrenden Minima scheint auch

π

zu sein (wiederum geraten)
Erste Ableitung von

f (x) = e^{sin (2 x)}

ist

2 e^{sin (2 x)} cos (2 x)

Das ist tatsächlich sehr interessant, hilft mir aber aktuell nicht im Geringsten

: - (

DrBoogie aktiv_icon

14:32 Uhr, 13.11.2015

Vergiss Ableitungen und Maxima, sie beweisen nichts.

tompr aktiv_icon

14:37 Uhr, 13.11.2015

So weit waren wir beide ja schon mal (und ich mag da auch überhaupt nicht widersprechen) - aber das offensichtliche ständige Wiederkehren dieser Idee hier im Forum lässt mich zumindest hoffen, dass man daraus eine Art Heuristik für das "Raten der Periode" entwickeln kann

. .

rundblick aktiv_icon

14:43 Uhr, 13.11.2015

.

".. für das "Raten der Periode" .."

\to

da gibt es doch NICHTS mehr zu Raten

. .

\to

siehe oben

!!

DrBoogie aktiv_icon

14:46 Uhr, 13.11.2015

Nun, wenn Funktion periodisch ist, dann sind auch ihre Minima, Maxima und Nullstellen periodisch, also eine Heuristik ist es schon.
Nur sieht man im Beispiel von

e^{\sin (2 x)}

sofort, dass Periode

π

ist, von daher wozu noch irgendeine Heuristik? Und es ist nicht so, dass nur ich das sehe, Herr Rundblick hat es auch sofort gesehen. :-)
Die Begründung habe ich auch schon oben geschrieben, mit

g

und

f

.

Ich finde übrigens falsch, dass Du versuchst, eine feste Regel herauszuarbeiten, welche Du dann einfach und fast schon mechanisch anwenden willst. Das ist keine Mathematik, das ist Buchhalung. Mathematik ist kreativ und keine Anwendung von Vorschriften!

tompr aktiv_icon

16:41 Uhr, 13.11.2015

Nur sieht man (Dr. Boogie und Dr. Rundblick, Dr. Tom leider nicht) im Beispiel von

e^{sin (2 x)}

sofort, dass Periode

π

ist,...
Woran habt Ihr es gesehen ?????

Ich greife die Idee mit der Verknüpfung der Funktionen nochmal auf (das half ja auch schon bei der Addition). Wie allgemein kann man es sagen ? Gilt es nur für

e^{sin}

oder gilt es auch für

. .

. oder

. .

. ?
Sorry, vergiss die Frage,da hatte ich was überlesen:

f

periodisch mit Periode

T

ist und

g

monoton :-)
Gibt's 'ne wissenschaftlich belastbare Quelle ?

Tut mir leid, dass ich mit meinem Versuch, eine feste Regel herauszuarbeiten, welche dann einfach und mechanisch anwendbar sein soll, auf Unverständnis stoße. In der Tat habe ich zum kreativen Teil der Mathematik nie den richtigen Draht gefunden. Vielleicht sollte ich aber dazu sagen, dass ich kein Mathematiker bin sondern Wirtschafts-Informatiker ;-)
Ich denke also gerne etwas "mechanistisch"

. .

DrBoogie aktiv_icon

20:10 Uhr, 13.11.2015

"Gibt's 'ne wissenschaftlich belastbare Quelle?"

Ich glaube nicht. In Wirklichkeit interessiert die Frage "wie erkenne ich periodische Funktion" höchstens die Dozenten, die keine Phantasie haben, eine bessere Aufgabe zu stellen. Heutzutage ist es sehr einfach, mit Hilfe des Computers die Periodizität einer Funktion zu prüfen. Also entweder erkennt man dies sofort oder fragt Computer. :-)

"Ich denke also gerne etwas "mechanistisch" "

Ist Dein gutes Recht. Aber dann musst Du Dich damit abfinden, dass Du nicht alle Aufgaben wirst erledigen können. Ein Versuch, Mathematik vollständig "zu mechanisieren", ist genauso hoffnungslos wie ein Versuch, Kunst "zu mechanisieren". Bis zu gewissem Punkt kann man auch komplett unbegabten Leuten Malerei und Schriftstellerei beibringen, aber nur halt bis zu einem gewissen Punkt. Bei der Mathe ist es nicht anders.

tompr aktiv_icon

13:30 Uhr, 16.11.2015

Akzeptiert - ich werde mich damit abfinden, dass nicht alle Aufgaben erledigt werden können.

Leider habe ich auch noch keinerlei Handghabe bei der multiplikativen Verknüpfung zweier periodischer Funktionen.

Aber ein Letztes noch zu diesem Thema: Wie sieht's denn aus mit dem Gegenteil, einer schnellen Beweisführung, dass bestimmte Funktionen nicht periodosch sind, wie zum Beispiel die folgende

y = {sin}^{2} x + x

Sind denn da meine Punkte zu holen ?

DrBoogie aktiv_icon

13:37 Uhr, 16.11.2015

\sin^{2} (x) + x

kann nicht periodisch sein, weil die Funktion stetig, aber unbeschränkt ist. Stetige periodische Funktionen sind aber offensichtlich beschränkt.

DrBoogie aktiv_icon

13:43 Uhr, 16.11.2015

"Leider habe ich auch noch keinerlei Handghabe bei der multiplikativen Verknüpfung zweier periodischer Funktionen."

Wie

\sin (x) \cos (2 x)

? Sie sind grundsätzlich periodisch, aber es gibt keine Regel, wie man aus Perioden von einzelnen Funktionen die Periode des Produkts berechnen kann. Also muss man in jedem Fall einzeln schauen.
Z.B. für

\sin (x) \cos (2 x)

ist die Periode

2 π

, denn

\sin (x + 2 π) \cos (2 x + 4 π) = \sin (x) \cos (2 x)

, aber

\sin (x + π) \cos (2 x + 2 π) = - \sin (x) \cos (2 x) \neq \sin (x) \cos (2 x)

(dass andere Perioden als

π

auch nicht in Frage kommen, ist schwer streng zu zeigen, aber intuitiv ist das klar).
Bei

\sin (x) \cos (x)

ist aber die Periode

π

, weil

\sin (x + π) \cos (x + π) = - \sin (x) \cdot (- \cos (2 x)) = \sin (x) \cos (2 x)

tompr aktiv_icon

15:35 Uhr, 11.01.2016

Danke Euch allen !

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