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Permutation, Variation, Kombination

Universität / Fachhochschule

Tags: Diskrete Mathematik, Kombination, permutation, Variation

 
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Vhira99

Vhira99 aktiv_icon

17:39 Uhr, 16.10.2020

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Aufgabenstellung:
Betrachten Sie die Buchstaben w,w,w,w,x,x,x,x,y,y,y,y,z,z,z,z.
(a) Wenn alle Buchstaben x aufeinander folgen sollen, wie viele verschiedene Wörter gibt es dann?
(b) Wenn es in den Wörtern keine aufeinander folgende Quadrupel gleicher Buchstaben geben darf, wie viele Wörter gibt es dann?


Hallo,

ich finden keinen Ansatz, wie ich mit diesen Aufgaben anfangen soll. Kann mir vielleicht jemand helfen? Ich bin eigentlich eine Person, die aus den Lösungen Schlussfolgerungen zieht, aber zu diesen Aufgaben habe ich keine.

Mit freundlichen Grüßen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

17:51 Uhr, 16.10.2020

Antworten
"w,w,w,w,x,x,x,x,y,y,y,y,z,z,z,z.
(a) Wenn alle Buchstaben x aufeinander folgen sollen, wie viele verschiedene Wörter gibt es dann?"

Wenn alle x aufeinander folgen, dann gibt es 13 Möglichkeiten, wo der erste x steht.
Wenn alle x schon fest stehen, gibt's 12 freie Plätze für den ersten w, dann 11 frei Plätze für den zweiten w uns. Aber von diesen 12! Varianten sind einige gleich, denn wenn man z.B. w vertauscht, ändert sich nichts. Daher muss man 12! durch (4!)3 teilen, denn es gibt 4! Permutationen bei w's und 4! Permutationen bei y's und genauso viel bei z's.
Am Ende ist also die Antwort 1312!(4!)3.
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

20:49 Uhr, 16.10.2020

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(a) kann man auch so betrachten: Man fasst die vier x zu einem untrennbaren Block X zusammen, es geht dann lediglich noch um die Permutation mit Wiederholung der 13 Elemente

w,w,w,w,X,y,y,y,y,z,z,z,z

da sagt die Anzahlformel direkt 13!4!3


Bei b) muss wohl wieder die gute alte Siebformel ran, angewandt auf die Mengen

Ak ... Buchstabe k kommt nur im Viererblock vor (k=1,2,3,4) .

Der Durchschnitt von m der Ak enthält dann nach dem selben Berechnungsprinzip wie in a) genau (16-3m)!4!4-m Elemente, und die gesuchte Anzahl ist

N=m=044m(16-3m)!4!4-m=16!4!4-413!4!3+610!4!2-47!4!+4! .
Frage beantwortet
Vhira99

Vhira99 aktiv_icon

22:09 Uhr, 16.10.2020

Antworten
Vielen Dank für die hilfreichen Antworten!
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

11:22 Uhr, 17.10.2020

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Korrektur: In der Summendarstellung der obigen Siebformel hatte ich den Faktor (-1)m vergessen - die ausführliche Variante ganz hinten stimmt aber. ;-)
Vhira99

Vhira99 aktiv_icon

19:07 Uhr, 17.10.2020

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@HAL9000

Meinst du mit ganz hinten N=...?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

19:11 Uhr, 17.10.2020

Antworten
Nach dem Summenzeichen muss noch (-1)m stehen, damit in der "ausgeschriebenen Form" + und - sich abwechseln. Die "ausgeschriebene Form" ist richtig.
Frage beantwortet
Vhira99

Vhira99 aktiv_icon

19:24 Uhr, 17.10.2020

Antworten
Danke!