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Permutation, Zykel und Ordnung

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Tags: Gruppen, Ordnung, permutation

Lolelei aktiv_icon

12:18 Uhr, 09.11.2009

Ich bitte um Hilfe bei folgender Aufgabe...

Seien m, n ∈ N.
a) Bestimmen Sie für einen Zykel $σ : = (a_{1}, a_{2, ....., a_{m}})$ $\in s_{n}$ der Länge $m \in I N$
die Ordnung ord(σ).
b) Eine Permutation $Π \in s_{n}$ habe die Zykeldarstellung $Π$ = σ1 ◦ . . . ◦ σm aus
(disjunkten) Zykeln σi der Länge mi. Welche Ordnung hat $Π$ ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

hagman aktiv_icon

10:06 Uhr, 10.11.2009

1)

"offensichtlich"

m

. Für

1 < k < m

ist

σ^{k} (a_{1}) = a_{k + 1} \neq a_{1},

also ord

(σ) \geq m

. Andererseits sieht man

σ^{m} = 1

2)

Da die Zykel miteinander vertauschen, gilt

Π^{k} = σ_{1}^{k} \cdot ... \cdot σ_{m}^{k}

und das ist 1 genau dann, wenn alle

σ_{i}^{k} = 1

sind. Laut

1)

ist

σ_{i}^{k} = 1

genau dann, wenn

k

ein Vielfaches von

m_{i}

ist. Insgesamt ist also

Π^{k} = 1

genau dann, wenn

k

ein Vielfaches aller

m_{i}

ist,

d . h

. ord(

Π) =

kgV(

m_{1}, ..., m_{m})

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