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Permutation als Produkt disjunkter Zykeln schreibe

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Tags: Algebra, Gruppen, MATH, Mathematik, permutation, Zyklenschreibweise

anonymous

15:26 Uhr, 01.11.2021

Hallo!

Hier eine

S_{8}

Permutation:

τ := (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 7 & 6 & 1 & 8 & 4 & 2 & 5 \end{matrix})

.

Ich soll nun überprüfen, ob diese Permutation Konjugiert zu einer anderen angegebenen Permutation ist. Wir wissen:

τ_{1}, τ_{2} \in S_{n}

sind konjugiert zueinander genau dann, wenn ihr Zykeltyp gleich ist. Den Satz würde ich hier gerne Anwenden.

Also Muss ich diese Permutation in Disjunkte Zykel zerlegen. Das Funktioniert bei mir aber nicht ganz:

Man kann sehen, dass

τ (5) = 8

und

τ (8) = 6

und

τ (2) = 7

und

τ (7) = 2

. Also sind das schonmal zwei disjunkte 2-Zykel:

(2 7)

und

(5 8)

.

Nun betrachte ich den Rest. Es ist

τ = (\begin{matrix} 1 & 3 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 1 & 4 \end{matrix}) \circ (2 7) \circ (5 8)

.

Ich schaue mir an, wie ich den Teil

(\begin{matrix} 1 & 3 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 1 & 4 \end{matrix})

mittels Transpositionen darstellen kann:

1 3 4 6 \to 4 3 1 6 \to 3 4 1 6 \to 3 6 1 4

.

Also

(\begin{matrix} 1 & 3 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 1 & 4 \end{matrix}) = (4 6) (4 3) (1 4)

.

Die sind aber nicht disjunkt und es ist:

(4 6) (4 3) (1 4) = (4 6) (1 3 4)

.

Die sind nun auch leider nicht disjunkt und das Produkt der beiden ist halt kein Zykel mehr.

Aber man kann ja jede Permutation als Produkt disjunkter Zykel schreiben... Hier bekomme ich es leider nicht hin... Was mache ich hier falsch???

Danke und LG

Max

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

15:31 Uhr, 01.11.2021

"Ich schaue mir an, wie ich den Teil (13364164) mittels Transpositionen darstellen kann:"

Und wozu? :-O
Das ist doch schon ein Zykel:

(1364)

anonymous

15:35 Uhr, 01.11.2021

(\begin{matrix} 1 & 3 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 1 & 4 \end{matrix})

bildet zwar die 1 auf die 3 ab aber dann die 3 nicht auf die

4,

sondern auf die 6 und auch die 6 wird nicht auf die 1 abgebildet...

Die Definition ist doch, dass man sowas hat:

x_{1} \mapsto x_{2} \mapsto ... \mapsto x_{n} \mapsto x_{1}

. Oder bin ich völlig falsch...?

DrBoogie aktiv_icon

15:41 Uhr, 01.11.2021

"Die Definition ist doch, dass man sowas hat: x1↦x2↦...↦xn↦x1. Oder bin ich völlig falsch...?"

Genau richtig. Und das ist bei dir mit

x_{1} = 1

x_{2} = 3

x_{3} = 6

x_{4} = 4

auch erfüllt. Kuck genauer.

anonymous

15:47 Uhr, 01.11.2021

Ahhh okay!! Danke! Ich dachte das funktioniert so nicht, da die Reihenfolge dann nicht richtig ist! Danke

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