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Permutationen der Buchstaben eines Wortes

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Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient

 
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lap00g

lap00g

19:22 Uhr, 22.02.2019

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Hallo,

gegeben sei das Wort MISSISSIPPI.

Gesucht:
(i) Anzahl der Permutationen der Buchstaben des Wortes.
(ii) Wie viele Wörter dieser Permutation beginnen mit I.
(iii) Bei wie vieler der Permutationen aus (i) stehen zwei P nebeneinander.

Was ich bis jetzt habe:
(i) Ist einfache eine Permutationen einer Multimenge. 11!/(1!*4!*4!*2!) = 34.650

(ii) Hab ich mir so gedacht: Ich nehm mir ein I heraus und stelle es an den Anfang:
I || MSSISSIPPI
Dahinert sind noch 10 Buchstaben anzuordnen - wieder Permutation einer Multimenge, nur mit einem I weniger in der Menge, somit 10!/(1!*3!*4!*2!) = 12.600

(iii) Zwei P können an folgenden Positionen nebeiander stehen:
PPXXXXXXXXX
XPPXXXXXXXX
XXPPXXXXXXX
XXXPPXXXXXX
XXXXPPXXXXX
XXXXXPPXXXX
XXXXXXPPXXX
XXXXXXXPPXX
XXXXXXXXXPP

Erneuter Permutation einer Multimenge, nur mit zwei P weniger in der Menge. Das Ergebnis muss ich noch mit 9 multiplizieren, da das die Anzahl der Möglichkeiten ist, wie die zwei PP im Wort nebeinander stehen können.

Somit: 9!/(1!*4!*4!) * 9 = 630 * 9 = 5.670.


Kann das so stimmen? :-)

LG



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Roman-22

Roman-22

19:33 Uhr, 22.02.2019

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> Kann das so stimmen? :-)
Fast ;-)

a) und b) hast du richtig.

Bei c) fehlt bei deiner Aufzählung aber noch die Variante XXXXXXXXPPX, womit sich dann 9!1!⋅4!⋅4!⋅10=6300 ergibt.

Geht aber überlegungsmäßig auch einfacher. Da die beiden P zusammenbleiben müssen, kannst du sie wie einen einzigen Buchstaben in einem jetzt nur 10-buchstabigen Wort betrachten, wodurch sich dann die Anzahl ähnlich wie bei a) mit 10!1!⋅4!⋅4!⋅1!=6300 errechnet.
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anonymous

anonymous

19:37 Uhr, 22.02.2019

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...
lap00g

lap00g

19:39 Uhr, 22.02.2019

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Stimmt, da hab ich mich vertan!

Danke an euch beide!
Antwort
anonymous

anonymous

19:50 Uhr, 22.02.2019

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Hallo,

11!4!⋅4!⋅2!⋅1! sind die unterscheidbaren Permutationen,

34,650 sind das.

11! sind dabei die Permutationen der 11 Buchstaben.
Von denen sind dann jeweils 4! für die i und s und
2! für die p nicht unterscheidbar...

411 ist die Chance auf ein führendes I,
macht 34.650⋅411=12.600.

Für doppelt p tue so, als gäbe es bloß eins:
10!4!⋅4!⋅1!=6.300.

Das ist übrigens der Polynomialkoeffizient,
der hier zum Einsatz kommt...